Труды семинара
"Время, хаос и математические
проблемы", вып. 2. М.: , с. .
© Ю.С.Владимиров
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
Ю. С. Владимиров
Физический факультет МГУ
1. Введение. Физика и геометрия.
Без преувеличения можно утверждать, что в основании современной фундаментальной теоретической физики лежит теория пространства-времени. Главные достижения физики ХХ века: специальная и общая теории относительности и квантовая механика самым тесным образом были связаны с изменениями представлений о свойствах пространства и времени. В настоящее время все более крепнет убеждение, что, с одной стороны, геометрия реального пространства-времени определяется физикой, а, с другой стороны, основания физики должны описываться в терминах обобщенной геометрии. Так, Дж.Уилер утверждает: ``Физика есть геометрия'', а Ю.И.Манин считает, что``Геометрия есть консервант скоропортящихся физических идей''. Дальнейший прогресс в физике следует ожидать на пути очередного пересмотра представлений о природе физического пространства-времени.
В большинстве исследований физические теории строятся на фоне так или иначе заданного пространства-времени (плоского, искривленного, закрученного и т.д.). В связи с этим следует отдавать себе отчет в том, какой с самого начала постулируется комплекс понятий и закономерностей. Это лучше всего можно представить из работ по аксиоматике геометрии и теории относительности. Можно указать работы по этому вопросу Д.Гильберта, А.Робба, А.Д.Александрова, Р.И.Пименова, Р.Моулда и многих других, в том числе и автора этой работы. Из этих исследований видно, что современные представления о пространстве и времени описываются сложным комплексом понятий (примитивов) и аксиом. Последних насчитывается более двух десятков. Их можно разбить на группы: аксиомы порядка, метрические аксиомы, топологические аксиомы, из которых выделим аксиому размерности. Имеются также аксиомы допустимых координатных систем, аксиомы связи геометрии и физических свойств материи. Ко всему еще нужно добавить неявное задание аксиоматики арифметики.
Предпринимались многочисленные исследования геометрий с видоизмененными аксиомами или с отказом от некоторых из них. Были и целенаправленные исследования, - обсуждался вопрос, от каких нужно отказаться аксиом (или какие нужно обобщить), чтобы в рамках новой геометрии решить некоторые физические проблемы (теснее связать квантовую теорию с геометрией, геометризовать те или иные физические свойства материи, преодолеть трудности с расходимостями и т.д.).
Опыт таких исследований показал, что, во-первых, можно построить бесконечное число аксиоматик одной и той же теории. Например, аксиомы одной аксиоматики можно считать теоремами другой и наоборот. Выбор аксиоматики должен фиксироваться преследуемой при ее построении целью. Во-вторых, как правило, аксиоматика лишь упорядочивает уже сложившуюся систему представлений. По образному выражению А.Л.Зельманова: ``Аксиоматика не шевелюра, а лишь только прическа''. На этом пути можно осознать уже достигнутое, но маловероятно выйти на качественно иные представления. Последние обычно связаны с озарением, с логически трудно описываемыми скачками в сознании.
2. Идея о макроскопической природе пространства-времени
Более плодотворным является путь развития уже давно зреющих соображений о природе пространства и времени. Рядом авторитетных авторов высказывалась мысль, что классические пространственно-временные представления справедливы лишь для достаточно массивных образований - макрообъектов - и теряют силу в явлениях иных масштабов, особенно в микромире. В связи с этим возникла идея о макроскопической (статистической) природе пространства и времени, согласно которой классические геометрические представления должны выводиться из неких элементарных факторов, присущих физике микромира, при наложении их огромного числа.
Историю развития этой идеи можно проследить, начиная с высказываний на этот счет Б.Римана в середине XIX века. В своем знаменитом мемуаре ``О гипотезах, лежащих в основании геометрии'' он писал: ``Вопрос о том, справедливы ли допущения геометрии в бесконечно малом, тесно связан с вопросом о внутренней причине возникновения метрических отношений в пространстве... Или то реальное, что создает идею пространства, образует дискретное многообразие, или же нужно пытаться объяснить возникновение метрических отношений чем- то внешним -силами связи, действующими на это реальное.'' Свои соображения по этому вопросу Риман завершает словами: ``Здесь мы стоим на пороге области, принадлежащей другой науке - физике, и переступить его не дает нам повода сегодняшний день''[1, c.33].
В середине ХХ века физик-теоретик Д. ван Данциг продолжил эту мысль: ``Можно быть склонным рассматривать метрику, как описывающую некое ``нормальное''состояние материи (включая излучение), и дать ей статистическую интерпретацию как некоторый вид среднего физических характеристик окружающих событий, вместо того, чтобы класть ее в основу всей физики. На статистическую интерпретацию наводит мысль также тот факт, что, например, измерение длины требует твердых тел, т.е. большого числа частиц. Однако, еще не известно, как такая статистическая интерпретация метрики может быть получена''[2].
Еще более конкретно проступает постановка задачи в работе Е.Циммермана ``Макроскопическая природа пространства-времени'': ``Пространство и время не являются такими понятиями, которые имеют смысл для отдельных микросистем. Эти микросистемы описываются абстрактными понятиями (заряд, спин, масса, странность, квантовые числа), не имеющими отношения к пространству и времени. Их взаимодействия также должны описываться абстрактно, т.е. безотносительно к пространству и времени. Наиболее фундаментальным следствием взаимодействия огромного числа таких микросистем является образование пространственно- временной решетки, которая приводит к справедливости классических понятий пространства и времени, но только в макроскопической области'' [3].
Аналогичной точки зрения придерживался наш соотечественник геометр (профессор МГУ) П.К.Рашевский. В своей монографии ``Риманова геометрия и тензорный анализ'' он писал: ``Между тем трудно сомневаться в том, что макроскопические понятия, в том числе и наши пространственно- временные представления, на самом деле уходят своими корнями в микромир. Когда-нибудь они должны быть раскрыты как некоторый статистический итог, вытекающий из закономерностей этого мира - далеко еще не разгаданных - из суммарного наблюдения огромного числа микроявлений''[4, c. 258]. В другом месте он высказывается еще более конкретно: ``Возможно, что и сам четырехмерный пространственно-временной континуум с его геометрическими свойствами окажется в конечном счете образованием, имеющим статистический характер и возникающим на основе большого числа простейших физических взаимодействий элементарных частиц''[4, c. 658].
На решение близкой программы было нацелено построение теории твисторов Р.Пенроуза. Он писал: ``Можно надеяться, что развитие твисторной теории приведет в конечном счете к построению лоренцевых многообразий, которые будут служить моделями пространства-времени'' [5, c. 132].
Над этой проблемой задумывались А.Эйнштейн, А.Эддингтон, Л.Де Бройль, Ф.Хойл, Е.Траутман и многие другие известные авторы.
3. Исходные посылки к построению искомой теории
В наших работах [6, 7, 8] показан путь построения такой теории. В этой статье качественно обсуждены принципиальные моменты предлагаемого решения проблемы вывода теории классического пространства- времени и физических взаимодействий, исходя из некой самостоятельной системы понятий и закономерностей, проявляющейся (имеющей место) в физике микромира.
Заметим, что идея о макроскопической природе пространства-времени и сформулированная здесь программа в какой-то степени противоречит широко распространенному мнению, что: ``для системы из одних только квантовых объектов вообще нельзя было бы построить никакой логически замкнутой механики'' [9, c. 15].
Для того, чтобы непосредственно приступить к построению искомой теории необходимо было уяснить ряд принципиальных моментов, причем нужно было это делать в едином комплексе. Кратко перечислим блоки из них, конечно, опираясь на уже построенные основания такой теории.
1) Прежде всего, необходимо было осознать соотношение искомой теории с уже существующими ныне физическими теориями, как для макромира, так и для микромира.
2) Опираясь на анализ существующей теории микромира, нужно было понять, от каких привычных свойств макромира мы должны отказаться в искомой теории (микромира). Из классической теории мы несем с собой в микромир множество иллюзий, от которых необходимо избавиться.
3) Из существующей физики микромира необходимо было выделить такие понятия, которые либо следует положить в самый фундамент искомой теории, либо считать промежуточными между первичными и привычными классическими пространственно-временными понятиями.
4) Далее, из анализа уже существующих вариантов классических теорий следовало выбрать идеи, понятия и принципы, которые не только пригодны, но и плодотворны для построения искомой теории микромира, очищенной от лишних наслоений. Оказывается, ряд таких идей и соображений давно возник в рамках классических теорий, но они рассматривались как боковые, необязательные.
5) Очень важно было найти математический аппарат, позволяющий реализовать весь комплекс необходимых требований к искомой теории и дающий возможность построить достаточно содержательную теоретическую конструкцию.
6) Наконец, следовало решить множество отдельных задач в процессе развития искомой теории. В частности, нужно было показать конкретно, как возникает классическое пространство-время, какие факторы и каким образом нужно было суммировать и многое другое.
4. Реляционный характер физических теорий
Обсудим перечисленные выше блоки вопросов в указанном порядке, то есть начнем с уточнения характера общепринятых ныне теорий. Сейчас разделы физики (теории) принято различать в зависимости от масштаба (сложности) рассматриваемых в них объектов: в классической физике (механике) рассматриваются макрообъекты, общая теория относительности имеет дело с очень массивными (мега- ) объектами, в квантовой механике и физике микромира описывается поведение микрочастиц. Грубо все разделы можно разделить на два класса - на имеющие дело с макрообъектами (обозначим их буквой m) и на описывающие микрообъекты (обозначим их буквой m). Физическим теориям присвоим символ R, тогда два названных класса теорий можно характеризовать символами R(m) и R(m).
Эти два класса теорий существенно отличаются друг от друга, но их роднит общее, - то, что эти теории строятся относительно макроприборов (макронаблюдателей). В нерелятивистской и релятивистской механике (в теории относительности) свойства макроприбора отражаются понятием классической системы отсчета. В квантовой теории к ним добавляются более тонкие свойства, влияющие на характер измерения. На тесную связь понятий классической системы отсчета и макроприбора в квантовой теории обращал внимание В.А.Фок. Он писал: ``Понятие относительности к средствам наблюдения (в квантовой механике - Ю.С.В.) есть в известном смысле обобщение понятия относительности к системе отсчета. Оба понятия играют в соответствующих теориях аналогичную роль. Но в то время как теория относительности, которая опирается на понятие относительности к системе отсчета, учитывает лишь движение средств наблюдения как целого, в квантовой механике необходимо учитывать и более глубокие свойства средств наблюдения" [10, c. 73].
Подчеркнем, что в современной квантовой механике и в физике микромира всегда подразумевается, что описание микрообъектов производится относительно макроприбора. Даже тогда, когда в квантовой теории описывается взаимодействие микрочастиц друг с другом, всегда подразумевается существование макрообъектов, и микрообъекты описываются терминами отношений микрообъектов к макрообъектам. Давайте подчекнем это обстоятельство тем, что во введенном выше символическом обозначении теории явно отметим снизу символом макрообъектов m факт описания объектов относительно макроприборов. Тогда классическую физику (первый класс теорий) следует обозначать символом Rm(m), а второй класс теорий, описывающих микрочастицы, - символом Rm(m).
Макроскопический подход к природе пространства- времени означает, что искомая теория должна исходить из системы собственных понятий, не опирающихся ни на априорное классическое пространство-время, ни на макроприбор. В ней микрообъекты должны описываться относительно микрообъектов. Это значит, что теперь должно использоваться некое обобщение на микромир понятия системы отсчета. Во введенных выше обозначениях искомая теория должна характеризоваться символом Rm(m).
Три введенных класса теорий изображены на блок-схеме рисунка 1.
Рис. 1: Соотношение искомой и существующих теорий
Стрелками обозначены переходы от самого элементарного уровня описания физики микромира в рамках Rm(m) к существующим теориям Rm(m) и Rm(m). На блок-схеме отражено, что ключевое место в развитии сформулированной выше программы составляет переход от неких элементарных баз, образуемых микрочастицами (m), к макроприбору (m).
5. От чего следует отказаться в искомой теории
Прежде чем приступать к построению искомой теории Rm(m) нужно было уяснить, от каких иллюзий, навеянных привычными теориями (в нижней части рисунка 1) следует в ней отказаться, а таковых немало.
1) Во-первых, нужно отказаться от понятия непрерывной эволюции для отдельных элементарных частиц. Это понятие тесно связано с памятью, которое возникает у достаточно сложных систем. Для отдельных элементарных частиц можно допустить лишь возможность дискретных переходов между парами состояний. В самом простом варианте это некие начальные и конечные состояния. Эта ситуация возникла уже в боровской модели атома, где постулировались переходы электронов между атомными уровнями, но ничего не говорилось о промежуточных этапах таких переходов. Впоследствии эта идея нашла свое воплощение в так называемой теории S-матрицы, когда рассматривались лишь амплитуды вероятностей переходов между начальными и конечными состояниями.
2) Нельзя класть в основание искомой теории континуум точек, как это делается в общепринятой теории. Уже теория относительности показала, что всякая физическая теория имеет дело с описанием соотношений лишь между событиями, происходящими с материальными объектами, а идея котинуума состоит в добавлении к реально осуществившимся (дискретным) событиям непрерывного множества лишних точек (событий).
Отметим, что вопрос о возможности отказа от континуума точек обсуждается уже давно. Так, А.Эйнштейн в середине 30-х годов писал: ``Необходимо отметить, конечно, что введение пространственно-временного континуума может считаться противоестественным, если иметь в виду молекулярную структуру всего происходящего в микромире. Утверждают, что успех метода Гейзенберга может быть приведен к чисто алгебраическому методу описания природы, т.е. исключению из физики непрерывных функций. Но тогда нужно будет в принципе отказаться от пространственно-временного континуума. Можно думать, что человеческая изобретательность в конце концов найдет методы, которые позволят следовать этому пути. Но в настоящее время такая программа смахивает на попытку дышать в безвоздушном пространстве" [11, c. 56].
Об этом же говорил позже Р.Фейнман: ``Теория, согласно которой пространство непрерывно, мне кажется неверной, потому что она приводит к бесконечно большим величинам и другим трудностям'' [12, c. 184].
Рядом физиков исследовались возможности построения дискретных моделей пространства-времени, но попытки использования жестких дискретных решеток успеха не имели. Главный их недостаток заключался в постулировании лишних узлов решеток, что в реальном мире не осуществляется в виде каких-то событий.
3) Если отказаться от континуума промежуточных точек, то сразу же повисает в воздухе концепция близкодействия с идеей полей переносчиков взаимодействий от одной частицы к другой. Электромагнитному и другим полям просто не по чем распространяться, то есть нет фона, на котором они даже могли бы быть определены. Следовательно, в искомой теории среди первичных понятий не должно быть переносчиков взаимодействий.
4) Далее следует отказаться от понятия больше- меньше в самых первичных положениях теории. Оно связано со счетом событий или некоторых факторов. В классической геометрии это понятие отражается аксиомой Архимеда, гласящей, что из любых двух отрезков меньший можно складывать с собой некоторое число раз так, что в результате сумма превзойдет больший отрезок. Это выражается тем, что общепринятая геометрия строится на основе вещественных чисел. В квантовой теории и в физике микромира, основные понятия описываются комплексными числами. Как нам представляется, это связано именно с фактом отсутствия понятия больше- меньше для микрочастиц.
На это обращал внимание Р.Пенроуз при обсуждении оснований и целей построения своей теории твисторов.
5) Принцип неопределенностей Гейзенберга говорит о дополнительности геометрических и динамических свойств материи. В основу теории должно быть заложено нечто третье, из которого следовали бы как динамические, так и пространственно-временные понятия, причем ниоткуда не следует, что последние должны появляться раньше динамических характеристик, как это принято считать в классической теории.
6) Нет оснований класть в основание теории такие понятия, которые обязательно должны быть непосредственно наблюдаемыми. Это достаточно ярко продемонстрировали квантовая механика и теория взаимодействий элементарных частиц. Важно лишь, чтобы из первичных понятий по некоторым правилам в конце концов можно было прийти к наблюдаемым величинам. На этот момент современной теории обращал внимание P.Фейнман.
6. Что первичней классических понятий?
Третий блок вопросов связан с выделением из физики микромира тех понятий, которые должны быть положены в основание искомой теории или которые имеют промежуточный характер между первичными понятиями и привычными классическими пространственно- временными представлениями. Некоторые из таких понятий уже названы в приведенном выше высказывании Е.Циммермана. Отметим некоторые из них.
1) Из рассмотрения волновых явлений и из квантовой физики вытекает важное значение понятия фазы - мнимого показателя экспоненты в комплексных числах, которыми описываются такие явления. На это настойчиво обращал внимание Дж.Уилер. Он писал: ``Существование в основных законах классического пространства-времени величины такого типа как относительная ``фаза'' двух отдельных точек приводит исследователей, ищущих чисто геометрическое описание природы, к заключению, что понятие ``фазы'' еще не нашло своего наиболее удачного геометрического средства выражения''... ``Однако Природа умеет ``вести учет'' различия ``фаз''. Значит, если Природа сводится к геометрии, ``фаза'' также должна быть сводима к геометрии'' [13, c. 61]. В другом месте он задавался вопросом: ``Могут ли идеи римановой геометрии и геометродинамики быть переформулированы в таком виде, чтобы концепция относительной ``фазы'' двух удаленных точек приобрела простой смысл?'' [13, c. 207].
Напомним, что понятие фазы было положено в основание фейнмановской интерпретации квантовой механики на основе суммирования по траекториям (континуального интегрирования).
2) Чрезвычайно важным квантовым понятием является спин элементарных частиц. Как известно, основные виды элементарных частиц описываются спинорными волновыми функциями, то есть имеют спин половина. В стандартной 4-мерной теории спинор часто рассматривается как ``корень квадратный из вектора''. Однако, можно идти в другом направлении, то есть постулировать спиноры и из них получать векторы. Близким к этому путем шел в своей твисторной программе Р.Пенроуз, положив в основание теории понятие твистора, то есть фактически пары 2- компонентных спиноров.
В современной математике понятие спинора вводится на основе алгебры Клиффорда над полем вещественных чисел. Установлена жесткая связь между свойствами пространства: его размерностью и сигнатурой и видом спиноров, которые в нем определены (числом их компонент, вещественностью, комплексностью и т.д.). Следовательно, исходя из 2-компонентных комплексных спиноров, Р.Пенроуз уже фактически заложил 4-мерность и известную сигнатуру пространства-времени.
Оказывается, можно строить еще более глубокую теорию, в которой сами спиноры оказываются следствием исходных принципов, причем они не обязательно 2-компонентные. В таком случае спиноры занимают промежуточное положение между первичными и привычными векторными понятиями.
3) В качестве следующего важного понятия из физики микромира следует назвать заряды элементарных частиц: как электрические, так и заряды, фигурирующие в теориях электрослабых и сильных взаимодействий элементарных частиц. Они назывались в приведенном выше высказывании Е.Циммермана о сущности макроскопического подхода к природе пространства-времени.
4) Из современной физики микромира следует важность понятия действия или сопутствующего ему понятия лагранжиана взаимодействия элементарных частиц.
7. Физические идеи, необходимые для построения искомой теории
Учитывая вышеизложенное, обсудим следующий круг вопросов: что пригодное для описания искомой теории, очищенной от перечисленных выше факторов, можно усмотреть в уже существующей классической теории.
1) В целях построения теории без первых трех иллюзий следует вспомнить концепцию дальнодействия, альтернативную доминирующей ныне концепции близкодействия (общепринятой теории поля). Согласно концепции дальнодействия уже на классическом уровне нет необходимости в промежуточных полях, а взаимодействие между частицами должно описываться непосредственно через их характеристики, причем не обязательно мгновенно. Среди ее исходных понятий нет полей, однако при желании их можно ввести как некое производное, вспомогательное понятие. В настоящее время имеется достаточно развитая такая теория, называемая теорией прямого межчастичного взаимодействия.
Как известно, соперничество между концепциями дальнодействия и близкодействия продолжается с переменным успехом уже несколько веков. Их начало датируется еще с работ Ньютона. Концепция дальнодействия доминировала в середине прошлого века в очень сильной немецкой физической школе. В ее рамках работали В.Вебер, К.Нейман, К.Ф.Цельнер и многие другие физики. К этой школе примыкал К.Гаусс, оставивший после себя записки с соображениями о теории прямого запаздывающего дальнодействия. Из этой школы вышел Э.Мах. Это направление встретилось с рядом трудностей: необходима была фундаментальная скорость запаздывания дальнодействия, нужны были носители электрического заряда, нужны были доказательства дискретной природы материи и т.д. Они не могли быть преодолены в середине прошлого столетия. Работы Максвелла по теории электромагнитного поля позволили обойти эти трудности. С тех пор эта концепция доминирует в физике почти полтора столетия.
Однако это направление исследований возродилось в первой четверти ХХ века в трудах К.Шварцшильда, Г.Тетроде, А.Д.Фоккера, Я.И.Френкеля и других авторов. В середине этого века к этим исследованиям присоединились Дж.Уилер и Р.Фейнман. В итоге была построена теория прямого межчастичного электромагнитного взаимодействия, эквивалентная общепринятой теории электромагнитного поля (см., например, [14]). Потом аналогичным образом была развита теория прямого гравитационного взаимодействия в первом приближении по гравитационной константе kg. Она далее развивалась в трудах Ф.Хойла, Дж.Нарликара и других авторов. В некоторых аспектах эта теория имеет даже преимущества по сравнению с теорией поля.
2) Есть основания утверждать, что концепция дальнодействия более последовательна и даже более соответствует теории относительности, чем концепция близкодействия. Последняя, по-существу, опирается на нерелятивистское понятие пространственного контакта, означающего, что взаимодействие осуществляется, когда расстояние между частицами i и j равно (стремится к) нулю (rij® 0). Частица взаимодействует с полем, находящимся в этой же точке, затем последовательно передает воздействие от одной точки пространства к другой, бесконечно близкой, по цепочке пока не достигнет положения второй частицы. В релятивистской теории, как известно, время и пространство объединяются в одно 4-мерное многообразие. Релятивистски неинвариантное понятие расстояния rij следует заменить на релятивистски инвариантное понятие интервала sij = (c2tij2-r2ij)1/2. Тогда релятивистское понятие контакта означает sij® 0, что соответствует взаимодействию (контакту) частиц на изотропных конусах с вершинами в местах расположения частиц. Расстояние же между частицами может быть сколь угодно большим.
3) Если нет нужды в переносчиках взаимодействий, то ставится вопрос о том, насколько необходимо постулировать существование континуума промежуточных точек. В теориях прямого межчастичного взаимодействия пространственно- временной фон использовался лишь для описания взаимного положения частиц. Однако в таких теориях не видно как избавиться от этой последней функции классической геометрии.
4) В связи с отсутствием полей переносчиков взаимодействий как самостоятельных сущностей нужно вспомнить выводы общей теории относительности и многомерных геометрических моделей физических взаимодействий типа теории Калуцы-Клейна [15]. В них физические поля описываются через метрику (многомерного) искривленного пространства-времени, то есть трактуются как свойства пространства- времени. Другими словами, понятия пространства- времени и полей переносчиков взаимодействий объединяются в единую сущность.
5) Другой урок многомерных геометрических моделей физических взаимодействий состоит в том, что существование различных полей, а, следовательно, и видов взаимодействий, трактуется через наличие дополнительных размерностей пространства-времени (или того, что должно составлять его прообраз в искомой теории).
6) Третий урок многомерных теорий Калуцы-Клейна состоит в том, что такие важные для описания физических взаимодействий понятия, как электрический и другие заряды, в ней трактуются через дополнительные компоненты импульсов взаимодействующих частиц (см., например, [16]).
8. Алгебраическая теория отношений как математический ключ к построению искомой теории
Основы математического аппарата, необходимого для построения искомой теории, были найдены в рамках так называемой теории физических структур Ю.И.Кулакова, предложенной в связи с совершенно другими соображениями. В работах Кулакова и его школы [17, 18] эта теория применялась для методической переформулировки ряда законов общей физики и геометрий с симметриями. Однако она (в несколько переработанном виде) оказалась плодотворной именно для реализации сформулированной выше программы.
Математический аппарат физических структур представляет собой алгебраическую теорию отношений между элементами произвольной природы. Элементы могут составлять одно или два множества. Постулируется, что между всеми элементами одного множества или между элементами двух различных множеств заданы отношения -некие числа. В теории Кулакова они вещественные, для наших целей следует брать комплексные числа. Полагается, что эти отношения удовлетворяют некому алгебраическому закону, то есть существует некая равная нулю функция, аргументами которой являются все возможные отношения между фиксированным числом элементов. Если теория строится на одном множестве, это будет одно число - ранг структуры (системы отношений) r, если на двух множествах, ранг системы отношений характеризуется двумя числами (r,s). Постулируется принцип фундаментальной симметрии, что закон выполняется для любых r элементов, если теория строится на одном множестве или любых r элементов из одного и любых s элементов из другого множества, если теория строится на двух множествах.
Этих простых положений достаточно для того, чтобы построить содержательную алгебраическую теорию. Оказалось, принцип фундаментальной симметрии позволяет установить вид алгебраических функций, определяющих законы структур (систем отношений) для каждого ранга. Структуры на одном множестве (унарные системы отношений) были отождествлены с известными видами геометрий с симметриями: евклидовой, лобачевского, римановой геометрией постоянной положительной кривизны, с симплектической геометрией и некоторыми другими. Причем размерность n таких геометрий связана с рангом структуры r соотношением n = r-2. Исходя из этого, структуры на двух множествах элементов (бинарные системы отношений) можно понимать как новый тип геометрий - бинарных. Они оказались проще унарных, более того, от них, склеивая пары точек двух множеств, можно перейти к унарным геометриям.
Этот математический аппарат оказался подходящим для построения искомой теории по следующим причинам:
1) Открытый новый вид геометрий - бинарных1 - позволяет математически описать важное свойство искомой теории, когда для каждой частицы возможны лишь два состояния: начальное и конечное. Для этой цели нужно использовать именно бинарные системы отношений, причем одно множество элементов интерпретировать как начальные состояния, а второе множество - как конечные состояния микросистем. По этой причине развиваемая теория называется бинарной геометрофизикой.
2) Теория бинарных систем отношений позволяет рассматривать дискретные множества элементов. Непрерывности важна лишь для записи функционально- дифференциальных уравнений, из которых находятся законы систем отношений. Но когда они уже каким- либо образом найдены, они могут приниматься для любых множеств элементов. Дискретность множеств элементов бинарной системы отношений соответствует отказу от континуума точек в основании физической теории.
3) Поскольку такая теория опирается на дискретные множества элементов и отношения между ними, то она может представлять собой только прототип теории в рамках концепции дальнодействия. В ней среди первичных понятий нет полей переносчиков взаимодействий, то есть развиваемая конструкция имеет характер теории прямого межчастичного взаимодействия.
4) Отношение (relation), используемое в данном ondunde в качестве первичного понятия, имеет глубокий методологический смысл. Оно подчеркивает тот факт, что во всей физике мы имеем дело только с отношениями одних объектов и явлений к другим, то есть теория имеет реляционный характер. В строящейся таким образом теории отношения представляют собой более элементарные понятия, чем классические импульсы, расстояния или промежутки времени.
5) Развитую в группе Кулакова теорию физических структур лишь с вещественными отношениями можно обобщить на случай комплексных отношений, когда перестает действовать аксиома Архимеда и теряет смысл понятие больше-меньше. Именно в таком варианте эта теория становится применимой для описания физики микромира.
6) В общепринятом подходе размерность пространственновременного многообразия понимается в топологическом смысле, то есть основано на свойствах непрерывности. В теории систем отношений прообразом геометрической размерности является ранг, что хорошо видно уже в рамках унарных структур (геометрий), когда n = r-2. Это позволяет считать физическим основанием идеи геометрической размерности количество элементов, для которых пишется алгебраический закон структуры.
7) Естественно полагать, что главную роль в теории играют бинарные системы комплексных отношений (БСКО) наименьших рангов. Оказывается, в теории БСКО ранга (3,3) элементы должны описываться 2- компонентными спинорами, что сразу же приводит к выводу о 4-мерности строящейся таким образом теории, причем с известной сигнатурой (+ - - -). Это можно понимать как теоретическое обоснование наблюдаемой в физическом мире размерности и сигнатуры.
8) В теории БСКО наименьшего ранга (2,2) элементы описываются лишь одним комплексным числом с фиксированным модулем. Это означает, что ключевую роль начинает играть фаза, о которой настойчиво говорил Дж.Уилер. В конце концов именно фаза ответственна за волновые свойства материи.
9) В теории БСКО большего ранга, в частности ранга (4,4) элементы описываются тремя параметрами. Два из них образуют 2-компонентный спинор, из которых по обычным правилам строятся компоненты 4-мерного импульса, а дополнительный параметр можно связать с зарядом частиц. Теории БСКО рангов, больших (3,3), можно трактовать как своеобразное бинарное многомерие, причем аналогии с многомерными (унарными) теориями Калуцы-Клейна простираются очень далеко. Они имеют место и при интерпретации зарядов частиц через дополнительные параметры (импульсы), и при описании конкретных видов взаимодействий.
10) Алгебраические законы бинарных систем комплексных отношений записываются в виде равенства нулю определителей из отношений между элементами двух множеств. В такой теории важную роль играют отличные от нуля миноры максимального ранга. Оказывается, в случае БСКО рангов, больших (3,3), эти миноры можно понимать как составные части прообраза лагранжианов известных видов взаимодействий элементарных частиц: электромагнитного, электрослабого, сильного.
Имеются и другие доводы в пользу применения теории БСКО для построения искомой теории микромира, из которой можно получить теорию классических пространственно-временных отношений.
9. Заключение
Изложенное выше пояснено в виде блок-схемы на рисунке 2, где изображены главные физические основания развиваемой нами бинарной геометрофизики, ее математический аппарат и целевая направленность.
Рис. 2: Блок-схема физических оснований и целевой направленности реляционной теории пространства-времени и физических взаимодействий (бинарной геометрофизики).
Можно утверждать, что реляционная теория пространства-времени и физических взаимодействий (бинарная геометрофизика), опирается на три блока физических идей:
1) на соображения о макроскопической (статистической) природе классического пространства-времени,
2) на теорию прямого межчастичного взаимодействия Фоккера-Фейнмана,
3) на многомерные геометрические модели физических взаимодействий типа теории Калуцы-Клейна.
Теория, основанная на названных и некоторых других необычных идеях, нацелена на решение следующих трех блоков проблем:
1) получение (вывод) классического пространства- времени из неких более первичных понятий и тем самым обоснование известных его свойств, таких как размерность, сигнатура, метрика и т.д.;
2) объединение теорий фундаментальных физических взаимодействий: гравитационного, электромагнитного, электрослабого и сильного;
3) совмещение принципов двух основополагающих теорий современной физики - общей теории относительности и квантовой теории.
На этом же рисунке в его средней части отмечены математические средства, которые привлекаются для развития теории. Во-первых, оказались плодотворными математические идеи теории физических структур Кулакова. На блок-схеме она помещена в средней строке справа. Но этой теории в ее первозданном виде оказалось недостаточно. Необходимы были ее комплексификация и, кроме того, ее переработка в духе теории систем отсчета в эйнштейновской теории гравитации. Последнее отображено на блок-схеме в виде левого блока в средней строке.
Еще раз подчеркнем, что в этой статье обсуждены предпосылки и концептуальные проблемы построения теории пространства-времени и взаимодействий в рамках макроскопического подхода к их природе. Математические основания, конкретное содержание бинарной геометрофизики и ее ключевые результаты обсуждены в следующей статье автора в этом сборнике.
1 Этот факт уже из самых общих соображений наталкивает на следующую мысль. В последнее время прилагались большие усилия для геометризации физики, причем использовались для этой цели, конечно,только унарные геометрии. Таковыми являются теории Калуцы-Клейна. Но с открытием бинарных геометрий, причем более элементарных, сразу же встает вопрос об использовании именно их для этой цели. Это более перспективно.