Математические структуры и моделирование. 2001. Вып.8. С.76-90.
http://cmm.univer.omsk.su/sbornik/sborn8.html

А.К. Гуц

{Теоретико-топосная модель мультиверса~Дойча}

Теоретико-топосная модель мультиверса Дойча

1
The Deutsch multiverse is collection of parallel universes. In this article a formal theory of the Deutsch multiverse and a topos-theoretic model of multiverse are given. For this the Lawvere-Kock Synthetic Differential Geometry and models for smooth infinitesimal analysis are used.

Введение

В книге Дэвида Дойча [1] излагается эскиз структуры физической реальности, которая представляет собой совокупность взаимодействующих параллельных вселенных, называемой мультиверсом, правильное описание которого, как считает Дойч, возможно лишь в рамках квантовой теории.

Наша цель - оставаясь в рамках математического аппарата 4-мерной общей теории относительности, описывающей Вселенную как конкретное 4-мерное лоренцево многообразие бR4, g(4)с, называемое пространством-временем, предоставить возможность учитывать наличие параллельных, т.е. других вселенных, являющихся самыми различными 4-мерными псевдоримановыми многообразиями, за счет любого необходимого произвольного увеличения размерности особого Гиперпространства, объемлющего все вселенные. Более того, Гиперпространств должно быть сколь угодно много; геометрия, топология, размерность Гиперпространств должны быть сколь угодно различными, чтобы всегда можно было найти бесчисленное число вселенных, сколь угодно подобных нашей, и одновременно должно существовать сколь угодно много вселенных, совершенно непохожих на мир, в котором мы живем.

Структура физической реальности должна учитывать прихоть мыслящего существа видеть ее во всевозможных мыслимых формах, располагая при этом весьма скудным исследовательским инструментарием, основой которого должны быть теория относительности и квантовая механика.

Следут особо подчеркнуть, что мы не намерены переходить к многомерным теориям типа Калуцы-Клейна. Нет, ни в коем случае. Подчеркиваем, что основой теории мультиверса должна быть 4-мерная метрика g(4).

Нетрудно понять, что поставленная нами цель требует иного взгляда на общую теорию относительности, поскольку мы собираемся совместить несовместимые вещи. Тем не менее, выход находится при обращении к интуиционистскому взгляду на риманову геометрию. Отказываясь от закона исключенного третьего, можно построить теорию, включающую как классический вариант общей теории относительности, так и множество других ее многомерных обобщений.

1  Формальная теория мультиверса

Теорию мультиверса следует строить как формальную теорию T , максимально похожую на общую теорию относительности, т.е. как теорию одной 4-мерной вселенной, а параллельные вселенные должны появиться при построении моделей формальной теории.

Основой формальной теории T может послужить так называемая Синтетическая дифференциальная геометрия (СДГ) Ловера-Кока [2]. Как известно, из-за того, что принимаемая СДГ аксиома Кока-Ловера несовместима с законом исключенного третьего, нельзя построить модель этой теории в категории теории множеств Кантора Set.

Отказ от закона исключенного третьего приводит нас к интуиционистской логике, которой мы должны придерживаться при развитии теории мультиверса, опираясь на СДГ. Место теоретико-множественных моделей формальной теории мультиверса должны занять теоретико-топосные модели. Последние хотя и обладают, в общем случае, внутренней интуиционистской логикой, развиваются в рамках двузначной классической логики. Это позволяет математику иметь дело с привычными объектами, правда, в рамках очень сложных конструкций, каковыми являются топосы.

Основным для СДГ Кока-Ловера является замена поля действительных чисел R на коммутативное кольцо R. В идеале хотелось бы, чтобы оно удовлетворяло следующим аксиомам 2:

Кольцо R дополнительно к обычным действительным числам из R располагает элементами, называемыми инфинитезималами и входящими в <<множества>>
D={d О R : d2=0}, ..., Dk={d О R : dk+1=0},...,

D={x О R : f(x)=0,  f О m0g },
где mg{0} - идеал функций, имеющих нулевой росток в 0 3, причем
D М D2 М ... М Dk М ... М D.

В рамках изложенной аксиоматики можно построить [4,3] риманову геометрию для 4-мерных (формальных) многообразий бR4, g(4)с, являющуюся основой для эйнштейновской теории гравитации.

Мы постулируем, что мультиверс - это 4-мерное пространство-время, описываемое с помощью СДГ, т.е. является формальным лоренцевым многообразием бR4, g(4)с, для которого выполняются уравнения Эйнштейна, представленные в традиционном виде:
R(4)ik-  1

2
g(4)ik(R(4)-2L)=  8pG

c4
Tik.
(1)
Решением этих уравнений будет 4-метрика g(4).

На формальном уровне физические следствия таких предположений не так заметны, как математические. Поэтому необходимо обратиться к моделям формальной теории. Наиболее исследованными являются так называемые хорошо адаптированные модели вида SetL op, содержащие как полную подкатегорию категорию гладких многообразий M .

2  Гладкие топосные модели мультиверса

Пусть L - это дуальная категория для категории конечно порожденных CҐ-колец. Она называется категорией локусов [7]. Объектами категории L являются все те же конечно порожденные CҐ-кольца, а морфизмами - обращенные морфизмы категории конечно порожденных CҐ-колец. Принято во избежание путаницы объекты (локусы) категории L обозначать как lA, где A - CҐ-кольцо. Следовательно, L -морфизм lA ® lB - это CҐ-гомоморфизм B ® A.

Конечно порожденное CҐ-кольцо lA изоморфно кольцу вида CҐ(R n)/I (для некоторого натурально числа n и некоторого конечно порожденного идеала I).

Категория SetL op является топосом. Мы рассмотрим топос SetL op как модель формальной теории мультиверса. Важно отметить, что модель SetL op обладает патологическими свойствами: многие из аксиом (A1)-(A12) не выполняются в SetL op. Например, оказывается, что гладкая прямая R, будучи коммутативным кольцом с единицей 1, не является при этом даже локальным кольцом, т.е. нарушается аксиома (A2). Более того, R не обладает свойством архимедовости (аксиома (A11)).

Можно рассматривать в качестве моделей топосы F , G и Z и многие другие [7,Appendix 2]. Для них выполнены все аксиомы (A1)-(A12) (см.[7,c.300]). Однако работа с топосом SetL op позволяет быстрее ознакомиться с излагаемой теорией мультиверса, не усложняя изложение математическими конструкциями.

На языке Дойча переход к конкретной модели формальной теории - это порождение виртуальной реальности 4. Физическая реальность, воспринимаемая нами и названнная Дойчем мультиверсом 5, также является виртуальной реальностью, созданной нашим мозгом [1,c.140]. Более того, <<виртуальная реальность, основанная на неправильных законах, и есть наш единственный источник получения знаний! ... А поскольку наши концепции и теории (будь они врожденные или приобретенные) никогда не совершенны, все наши передачи на самом деле неточны. То есть, они дают нам ощущение среды, которая значительно отличается от среды, в которой мы действительно находимся>> [1,c.140].


Модель мультиверса - это генератор виртуальной реальности, который обладает определенным репертуаром сред, которые он создает и в которые мы погружаемся. Поясним, как это происходит.


При интерпретации i: SetL op |= T формальной теории T мультиверса в топосе SetL op объектам теории, например кольцу R, степени RR и т.д., ставятся в соответствие объекты топоса, т.е. функторы F=i(R), FF=i(RR) и т.д. Отображениям, например R® R, R® RR, - морфизмы топоса SetL op, т.е. естественные преобразования функторов - F® F, F® FF.

Наконец, при интерпретации языка формальной теории мультиверса необходимо приписать элементам кольца R <<элементы>> функторов F О SetL op. Иначе говоря, нужно проинтерпретировать отношение r О R. Это сделать не так просто потому, что функтор F определен на категории локусов L ; его переменной (аргументом) является произвольный локус lA, а значением множество F(lA) О Set. Выход из затруднения заключается в определении обобщенных элементов x О lAF функтора F.

Обобщенным элементом x О lAF, или элементом x функтора F в стадии lA, называется элемент x О F(lA).

Теперь можно сопоставить элементу r О R обобщенный элемент i(r) О lAF. Но, как видим, таких элементов столько сколько локусов. При переходе к модели SetL op происходит <<размножение>> элемента r. Он начинает существовать в бесконечном числе вариантов
{i(r): i(r) О lAF, lA О L }.

Важно отметить, что поскольку 4-метрика g(4) - это элемент объекта RR4×R4, то <<интуиционистская>> 4-метрика начинает существовать в бесконечном числе классических вариантов i(g)(4) О lAi(RR4×R4). Обозначим каждый такой вариант как i(g)(4)(lA).

Для упрощения изложения будем далее иметь дело с объектами модели SetL op. Другими словами, будем писать g(4)(lA) вместо
i(g)(4)(lA).

Нетрудно понять, что каждый вариант g(4)(lA) классической 4-метрики удовлетворяет <<своему>> уравнению Эйнштейна [4]
R(4)ik(lA)-  1

2
g(4)ik(lA)[R(4)(lA)-2L(lA)]=  8pG

c4
Tik(lA).
(2)
Причем не исключено, что физические константы G,c также могут меняться от варианта к варианту.


Figure 1: Физическая (виртуальная) реальность R4 как сумма многомерных гиперпространств (сред), расслоенных
на параллельные 4-мерные вселенные, соответствующих различному <<вычислению>> реальности.

Прежде чем пойти дальше, укажем на существование вложения Ионеды (Yoneda)
y:L ® SetL op,

y(lA)=HomL (-, lA).
Примем, что кольцо R интерпретируется как функтор y(lCҐ(R )), т.е.i(R)=y(lCҐ(R )). Будем далее писать lA вместо y(lA) и опустим символ i. Тогда имеем
R(-)=lCҐ(R )(-)=HomL (-, lCҐ(R )).
Аналогично
RR4×R4(lA)=HomL (lA, RR4×R4) = HomL (lA×(R4×R4), R) =

= HomL (lCҐ(R m)/I×lCҐ(R 4lCҐ(R 4),lCҐ(R )) =

= HomL op(lCҐ(R ),CҐ(R m)/IДҐ CҐ(R 4)ДҐ CҐ(R 4)) =

= HomL op(CҐ(R ), CҐ(R m+8)/(I,{0})) = HomL (lCҐ(R m+8)/(I,{0}),lCҐ(R )),
где lA=lCҐ(R m)/I, ДҐ - символ копроизведения CҐ-колец, и при вычислении использованы формулы
CҐ(R n)ДҐ CҐ(R k)=CҐ(R n+k),

 lA® lClB

llA® lC
.
Отсюда следует, что при lA=lCҐ(R m)
g(4)(lA)=[g О lARR4×R4] є g(4)ik(x0,...,x3, a)dxidxk,   a=(a1,...,am) О R m.
Дополним метрику g(4)ik(x0,...,x3, a) до (4+m)-метрики в пространстве R 4+m

g(4)ik(x0,...,x3, a)dxidxk-da12-...-dam2.
(3)
Получаем (4+m)-мерную геометрию.

Символически процедуру получения многомерных вариантов геометрии, порождаемых интуиционистской 4-геометрией g(4), можно представить в виде формальной суммы
g(4)=c0·

[g(4) О 1R{R4×R4}]
4-мерная геометрия 
+c1·

[g(4) О lCҐ(R 1)RR4×R4]
5-мерная геометрия 
+...

...+cn-4·

[g(4) О lCҐ(R n-4)RR4×R4]
n-мерная геометрия 
+...,
где коэффициенты cm берутся из поля комплексных чисел.

Поскольку стадий несчетное число, то вместо суммы следует писать интеграл
g(4)=
у
х
L  
D [lA]c(lA)[g(4) О lCҐ(R n-4)RR4×R4].
(4)
Используем обозначения квантовой механики 6:
g(4)® |g(4)с,    [g(4) О lCҐ(R n-4)RR4×R4]® |g(4)(lA)с.
Тогда (4) перепишется в виде
|g(4)с =
у
х
L  
D [lA]c(lA)|g(4)(lA)с.
(5)
Таким образом, формальная 4-геометрия Кока-Ловера бR4,g(4)с есть сумма бесконечного числа классических многомерных псевдоримановых геометрий (гиперпространств), которые расслаиваются посредством фиксации a=a0 на 4-мерные параллельные вселенные. Геометрические свойства параллельных вселенных могут, как показано в [9,10], существенно различаться даже в рамках одной стадии lA. О природе, смысле коэффициентов c(lA) поговорим ниже в § 5.


Здесь как раз уместно вспомнить о средах виртуальносй реальности, которые должны возникать при обращении к модели мультиверса, в данном случае к модели SetL op, являющейся генератором виртуальной реальности. Нетрудно понять, что обобщенные элементы
|g(4)(lA)с - это метрики конкретной среды (=гиперпространство) с <<номером>> lA. Другими словами, обращение к изучению любого объекта теории в стадии lA есть не что иное, как переход к одной из сред, входящих в репертуар генератора виртуальной реальности SetL op.

3  Космология Дойча-Гёделя

В качестве примера мультиверса рассмотрим космологическое решение Гёделя [6]:
g(4)ik=a2 ж
з
з
з
з
з
и
1
0
ex1
0
0
-1
0
0
ex1
0
e2x1/2
0
0
0
0
-1
ц
ч
ч
ч
ч
ч
ш
(6)

(g(4))ik=  1

a2
ж
з
з
з
з
з
и
-1
0
2e-x1
0
0
-1
0
0
2e-x1
0
-2e-2x1
0
0
0
0
-1
ц
ч
ч
ч
ч
ч
ш
Эта метрика удовлетворяет уравнениям Эйнштейна (1) с тензором энергии-импульса пылевой материи
Tik=c2ruiuk,
при условии, что
 1

a2
=  8pG

c2
r,   L = -  1

2a2
= -  4pGr

c2
.
(7)
Если теперь положить
a = a0+d, L = L0+l, r = r0+r,
(8)
где d,l,r О D - инфинитезималы, и подставить в (7), то имеем
 1

(a0+d)2
=  1

a02
-  2d

a03
=  8pG

c2
(r0+r),

2L0+2l = -  1

a02
+  2d

a03
,  L0+l = -  4pGr0

c2
-  4pGr

c2
.
Предположим, что a0,L0,r0 связаны соотношениями (7). Тогда из предыдущих равенств находим связь между инфинитезиамалами
l = -  4pG

c2
r,   d=-  4pGa03

c2
r.
При интерпретации в гладком топосе SetL op инфинитезимал r О D в стадии lA=CҐ(R m)/I представляется классом гладких функций вида r(a)mod I, где [r(a)]2 О I [7,c.77].

Рассмотрим состояние мультиверса Гёделя, точнее, мультиверса Дойча-Гёделя в стадии lA=lCҐ(R )/(a4) 7. Очевидно, что можно взять инфинитезимал вида r(a)=a2. Мультиверс в этой стадии является 5-мерным гиперпространством, слои которого, задаваемые уравнением a=a0, - параллельные вселенные (среды) R4(lA) с метрикой g(4)(lA)=g(4)ik(x,a), заданной формулами (6) с учетом (8). Плотность материи r = r0+r(a) начнет расти от классического значения r0 ~ 2·10-31 г/см3 до +Ґ при a® ±Ґ. Начинает неограниченно расти до -Ґ и космологическая постоянная. Все это говорит о том, что параллельные вселенные могут иметь физические свойства, совершенно отличные от свойств нашей Вселенной.

В стадии lA=lCҐ(R )/(a2)  r(a)=a и r = r0+r(a)®-Ґ при a® -Ґ, т.е. становится физически неинтерпретируемой, поскольку не ясно, что представляет собой <<экзотическая>> материя с отрицательной плотностью.

Наконец, в стадии 1=lCҐ(R )/(a) все r(a)=d(a)=l(a)=0, т.е. имеем дело с классической вселенной Гёделя.

4  Квантовые свойства геометрии параллельных
вселенных

В излагаемой теории мультиверса естественным образом переносятся идеи квантовой геометродинамики Уилера. Так, формула для амплитуды вероятности перехода от 3-геометрии g(3) физического пространства к 3-геометрии h(3) принимает вид <<двойного>> интеграла Фейнмана по траекториям, которыми являются различные 4-геометрии g(4):
бg(3)|h(3)с =
у
х
L  
D [lA] h(3)(lA)
у
х
g(3)(lA)  
D [g(4)(lA)]e [  i/((h/2p) )] S[g(4)(lA)] ,
где
S[g(4)(lA)]=km(lA)
у
х
R 4+m 
  ж
Ц

- det
||g(4)(lA)||
 
R(4)(lA)d4xdma
- действие в пространстве бR 4+m,g(4)(lA)с.

Как видим, в действительности интеграл Фейнмана по траекториям g(4) - это бесконечное число интегралов по (4+m)-мерным траекториям g(4)(lA) вида (3).

Повторяя вычисления Уилера, можно оценить квантовые флутуации 4-метрики g(4)® g(4)+Dg(4), не вносящие искажение в интерференционную картину, задаваемую интегралами по траекториям.

При предположении, что при флуктуациях det||g(4)(lA)|| ~ 1, получаем для искомых флуктуаций в (4+m)-мерной области с размерами L4×L1m
Dg(4)(lA) ~  L*

L
ж
и
 T

L1
ц
ш
[ m/2]

 
,
(9)
где
L*=   ж
Ц

 G(h/2p)

c3
 
~ 10-33см
- планковская длина и принято, что km(lA) ~ c3/((h/2p) GTm), где T [см] - величина, характеризующая <<размеры>> дополнительных измерений.

Из (9) вытекает, что при L ~ L*, L1 ~ T все флуктуации Dg(4)(lA) ~ 1, т.е. становятся существенными. Геометрия и топология <<пенятся>> на уровне микромира.

Как показано в [13,14], флуктуации могут иметь место и на макроскопических расстояниях или отрезках времени. Это возможно за счет высших измерений, которые появляются за счет рассмотрения мультиверса в различных стадиях lA, т.е. различных состояний (сред)
R4(lA) мультиверса.

5  Электроны-двойники

Дойч предположил, что параллельная вселенная образуется за счет теневых элементарных частиц, сопровождающих каждую реальную частицу. Реальные частицы <<мы можем увидеть или обнаружить с помощью приборов, тогда как вторые (теневые - А.Г.) - неосязаемы (невидимы): их можно обнаружить только косвенно через их воздействие на видимые>> частицы [1,c.48]. <<Между реальными и теневыми фотонами не существует особой разницы: каждый фотон осязаем в одной Вселенной и не осязаем во всех параллелных Вселенных>>.

Уравнение Дирака в СДГ
i(h/2p) g(k)  y

xk
-mcy = 0
(10)
в пространстве-времени Минковского, т.е. в мультиверсе Дойча-Минковского M4 с метрикой, записанной в виде
ds2=dx02-dx12- dx22-dx32
(11)
имеет, например, следующее решение
y(x)= ж
з
з
з
з
з
и
  1
  1
-1
  1
ц
ч
ч
ч
ч
ч
ш
e[ mc/((h/2p) )]x2+g(x3+x0)+iq·f(x3+x0),
(12)
которое при q·f(x3+x0)=const являтся спинорным духом 8, т.е. имеет нулевой тензор-энергии импульса поля y(x)
Tik=  i(h/2p) c

4
м
н
о
y*g(0)g(i)  y

xk
-  y*

xk
g(0)g(i)y+y*g(0)g(k)  y

xi
-  y*

xi
g(0)g(k)y ь
э
ю
.
(13)
Спинорный дух, как видим, описываемый спинорым полем y, является призрачным, поскольку не обладает ни энергией, ни импульсом. Уместно вспомнить замечание Эйнштейна на соотношение электромагнитного поля и световых квантов (фотонов). <<Эйнштейн считал, что поле <<прокладывает путь>> световым квантам. Эти поля определяют вероятность найти в системе квант, который переносит вдоль заданного пути энергию и импульс. Сами же поля, поскольку они призрачны, не обладают ни энергией, ни импульсом>> [15,c.71-72].

Поскольку духи как спинорное поле не имеют энергии и импульса, то они не могут фиксироваться приборами. Они неосязаемы. Именно поэтому Е.В.Палешева предложила [16] отождествлять спинорные духи с теневыми частицами Дойча.

Решению y можно сопоставить 9 дираковский ket-вектор |Yс, представленный в виде суммы 10
|Yс =
у
х
L  
D [lA]a(lA)|Y(lA)с.
(14)
Естественно трактовать y = |Yс. Тогда y*y = бY|Yс - плотность вероятности электрона и

у
х
R4 
y*yd4x=
у
х
R4 
бY|Yсd4x=1.
(15)
Полагая, что
бY|=
у
х
L  
D [lB]a*(lB)бY(lB)|.
Поэтому
1=
у
х
R4 
бY|Yсd4x =
у
х
R 4 
d4x
у
х
L  
D [lB]
у
х
L  
D [lA]a*(lB)a(lA)бY(lB)|Y(lA)с =

=
у
х
L  
D [lB]a*(lB)
у
х
L  
D [lA]a(lA) ж
и

у
х
R 4 
d4xбY(lB)|Y(lA)с ц
ш
=

=
у
х
L  
D [lB]a*(lB)
у
х
L  
D [lA]a(lA)d(lB-lA) =
у
х
L  
D [lB]a*(lB)a(lB),
где положили (как логическое продолжение равенства (15), что

у
х
R 4 
d4xбY(lB)|Y(lA)с = d(lB-lA),


у
х
L  
D [lB]f(lB)d(lB-lA)=f(lA).
Следовательно,

у
х
L  
D [lA]a*(lA)a(lA)=1.
и вполне разумно допустить, что a*(lA)a(lA) - это квадрат модуля амплитуды вероятности стадии lA, характеризующий вероятность наблюдения электрона в стадии lA мультиверса M4.


Такой вывод позволяет трактовать c*(lA)c(lA), где c(lA) - комплексные коэффициенты в разложении (5) 4-метрики мультиверса
бR4, g(4)с, как вероятность (точнее, квадрат модуля амплитуды вероятности) того, что мультиверс находится в состоянии |g(4)(lA)с 11.


Пусть в выражении для спинорного поля (12) число q = 1-e, где e инфинитезимал, т.е. e О D ={x О R| f(x)=0,  f О mg{0}},  mg{0} идеал функций, имеющих нулевой росток в 0.

Если e О D, то e в стадии lCҐ (R n)/I задается функцией e(a), a О R n такой, что для для любой f О mg{0}   f(e(a)) О I  [7,c.77].

Имеем
f(e(a))=f(e(0))+ Ґ
е
|a|=1 
 1

a!
Da(f°e)(0)aa =

= f(e(0))+ Ґ
е
|a|=1 
 1

a!
ж
и
|a|
е
|b|=1 
Db f(e(0))Pb(e(0)) ц
ш
aa,
(16)
где a,b - мультииндексы и Pb - некоторые полиномы.

В стадии lCҐ (R n)   f(e(a)) О I={0} для любой f О mg{0}. Поэтому из (16) следует, что прежде всего f(e(0))=0, и, следовательно, e(0)=0. Кроме этого
|a|
е
|b|=1 
Db f(e(0))Pb(e(0))=0.
Но для любой f О mg{0}   Db f(0)=0. Поэтому e(a) произвольная функция, удовлетворяющая условию e(0)=0.

Возвращаясь к полю (12), примем, что q(a)=1-e, где
e(0)=0,   e(a) > 0  при  a 0,  и e = 1 при ||a|| і r0,
а f некоторая не равная тождественно нулю функция. Тогда в стадии lA=lCҐ (R n) имеем
q(a)=1-e(a)= м
н
о
0    при ||a|| і r0,
> 0 при ||a|| < r0.
Следовательно, в стадии lA=lCҐ (R n) поле y не является спинорным духом в нашей Вселенной (a=0) и во вселенных с ||a|| < r0, но - дух в параллельных вселенных, для которых e(a) і r0. Можно взять число r0 столь малым, что вселенные, <<помеченные>> параметром a с ||a|| < r0, в силу квантового вспенивания топологии и геометрии, должны рассматриваться как одна вселенная (r0 - <<толщина>> вселенной). Это означает, что поле y - это реальная частица в нашей Вселенной и теневые частицы-двойники во всех других вселенных.

Если же взять q О D так, что
q(a) > 0  при  ||a-a0|| < r0  и q(a) = 0 при ||a|| > r0,
где a0 0 и r0 < ||a0||, то поле y в стадии lCҐ (R n) не является спинорным духом во вселенной a=a0, имеющей <<толщину>> r0, и является духом, т.е. теневой частицей-близнецом, во всех других вселенных, включая нашу Вселенную (a= 0).

При этом в стадии 1=lCҐ (R 0)=lCҐ (R )/(a1)   q·f(x3+x0) mod {a1}=f(x3+x0). Это означает, что мы имеем дело с обычной частицей, несущей энергию и импульс.

6  Фотонные духи и фотоны-двойники

Как известно, плоская монохроматическая электромагнитная волна описывается волновым уравнением
 1

c
®
A
 

t
=D
®
A
 
и имеет, например, следующий вид
®
A
 
=
®
A0
 
ei(kx-wt).
Електрическая и магнитная напряженности волны равны
®
E
 
=i|
®
k
 
|
®
A
 
,  
®
H
 
=i[
®
k
 
×
®
A
 
].
(17)
Для тензора энергии-импульса волны имеем
Tij=  Wc2

w2
kikj,
где
W=
®
E
 
2
 

4p
- плотность энергии волны.

Из приведенных формул видно, что если сделать подстановку [(A)\vec]® d[(A)\vec], где d О D, то получим
®
E
 
® d
®
E
 
Ю
®
E
 
(lCҐ (R )/(a2)) 0  при a 0,
тогда как W® d2W=0 и, следовательно, Tik є 0, т.е. имеем фотонный дух во всех вселенных мультиверса, наблюдаемый в виде электромагнитной волны, не несущей ни энергии, ни импульса во всех мирах, кроме мира с a=0, где ее просто нет.


Рассмотрим теперь число J О R. Пусть в стадии lCҐ (R n)/I оно задается классом функций J(a)\mod I, где
J(a)=e-k|a|2-1,   k > 0.
(18)
Пусть электромагнитное поле
®
E
 
=iJ|
®
k
 
|
®
A
 
,  
®
H
 
=iJ[
®
k
 
×
®
A
 
],   
®
A
 
0
получается из (17) подстановкой [(A)\vec]® J[(A)\vec].

Тогда
®
E
 
(lCҐ(R )/(J2)) 0,
но
Tij=  Wc2

w2
kikj(lCҐ(R )/(J2)) mod (J2)=0.
Иначе говоря, в стадии (среде) lCҐ(R )/(J2) во всех вселенных наблюдаюся фотоны-двойники, не несущие ни энергии, ни импульса, т.е. являющиеся фотонными духами.

7  Виртуальные реальности как топосные модели
формального мультиверса

Поскольку <<множество действительных чисел>> R в SetL op не обладает многими привычными свойствами обычных действительных чисел из R , то, пребывая в средах этого генератора виртуальной реальности, мы должны были наблюдать неожиданные или непривычные факты и явления. Некоторые из них были описаны в данной статье.

Топос SetL op, как уже говорилось, не единственная допустимая модель для формальной теории T . Обращение к другим моделям, другим генераторам виртуальной реальности приведет нас к знакомству с другими возможными реальностями, но трудно сказать, какая из них ближе к той, которая носит название окружающая нас физическая реальность.

References

[1]
Дойч Д. Структура реальности. Ижевск: НИЦ <<Регулярная и хаотическая динамика>>, 2001.

[2]
Kock A. Synthetic Differential Geometry. Cambridge Univ. Press, 1981.

[3]
Guts A.K., Grinkevich E.B. Toposes in General Theory of Relativity. - Los Alamos E-print paper: gr-qc/9610073 (1996). - http://xxx.lanl.gov/abs/gr-qc/9610073

[4]
Гуц А.К. Интуиционистская теория пространства-времени // Международная геометрическая школа-семинар памяти Н.В.Ефимова. Тезисы докладов. Абрау-Дюрсо. 27 сентября - 4 октября 1996 года.- Ростов-на Дону,1996.- С.87-88.

[5]
Дирак П. Принципы квантовой механики. М.: Наука, 1979.

[6]
Gödel K. An Example of a New Type of Cosmological Solution of Einstein's Field Equations of Gravitation // Rev. Mod. Phys. 1949. V.21, No.3. P.447-450.

[7]
Moerdijk I., Reyes G.E. Models for Smooth Infenitesimal Analysis. Springer-Verlag, 1991.

[8]
Квантовая механика Эверетта // Сайт в Интернет http://www.univer.omsk.su/
omsk/Sci/Everett.

[9]
Guts A.K., Zvyagintsev A.A. Interpretation of intuitionistic solution of the vacuum Einstein equations in smooth topos. - Los Alamos E-print Paper: gr-qc/0001076 (2000).

[10]
Гуц А.К., Звягинцев А.А. Решение почтивакуумных уравнений Эйнштейна в синтетической дифференциальной геометрии Кока-Ловера // Математические структуры и моделирование. 2000. Вып.6. C.115-127.

[11]
Гуц А.К., Звягинцев А.А. Интуиционистcкая логика и сигнатура пространства-времени // Логика и приложения. Международ. конференция, посвящ. 60-летию Ю.Л.Ершова. Тезисы докладов. - Новосибирск: Ин-т дискрет. мат-ки и информатики, 2000. С.38-39.

[12]
Гуц А.К. Многозначная логика и многовариантный мир // Логика и приложения. Международ. конференция, посвящ. 60-летию Ю.Л.Ершова. Тезисы докладов. - Новосибирск: Ин-т дискрет. мат-ки и информатики, 2000. С.36-37.

[13]
Guts A.K. Interaction of the Past of parallel universes. - Los Alamos E-print Paper: physics/9910037 (1999).

[14]
Гуц А.К. Модели многовариантной истории // Математические структуры и моделирование. 1999. Вып.4. С.5-14.

[15]
Белокуров В.В., Тимофеевская О.Д., Хрусталев О.А. Квантовая телепортация - обыкновенное чудо. Ижевск: R & C Dynamics, 2000.

[16]
Palesheva E.V. Ghost spinors, shadow electrons and the Deutsch Multiverse. - Los Alamos E-print paper: gr-qc/0108017 (2001).


Footnotes:

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 01-01-00303 - теоретическая часть).

2Мы приводим только часть аксиом. Другие аксиомы см. в [7,Гл.VII].

3Иначе говоря, исчезающих в некоторой окрестности точки 0.

4Это предположение автор услышал от А.А.Звягинцева.

5Multiverse - много (multi-) вселенных (universe); причем universe - одна (uni) вселенная. Другой не мыслили, и это отразилось в языке.

6Дираковские обозначения: |Pс = y(x)с є y(x); в данном случае y(x) - это g(4) (представитель состояния |Pс), а |Pс - это |g(4)с [5,c.111-112].

7Через (f1,...,fk) обозначается идеал кольца CҐ (R n), порожденный функциями f1,...,fk О CҐ (R n), т.е. имеющий вид еi=1kgifi, где g1,...,gk О CҐ (R n) - произвольные гладкие функции.

8Данное решение найдено Е.В.Палешевой.

9См. примечание 5.

10Приводимая формула и придаваемый ей в этой статье смысл имеет прямое отношение к эвереттовской трактовке квантовой механики [8].

11Метрика - это гравитационное поле, определяющее геометрию и в определенной мере топологию пространства-времени. Поэтому естественно отождествлять состояние (среду) мультиверса |R4(lA)с в стадии lA (см., например, рис.1) с состоянием 4-метрики |g(4)(lA)с.


File translated from TEX by TTH, version 3.05.
On 3 Feb 2002, 19:02.