Материалы сайта по теме "Понятие времени в математическом моделировании процессов

Предлагаемые материалы являются оригинальными работами сотрудников кафедры. Активные заголовки текстов снабжены краткими рефератами или аннотациями. Все права копирования и переиздания сохраняются за автором. При цитировании ссылки на источник обязательны.

Коганов А. В. Эталонная база математических теорий

Понятие строгости в современной математике основано на эталонизации интерпретаций нескольких основных понятий. Такая эталонизация невозможна на уровне словесных описаний и достигается специальными приемами обучения математике на начальном этапе. На основе введенных эталонов можно конструировать более сложные понятия, сохраняя однозначность трактовки. Строгое соблюдение эталонности употребляемых терминов позволяет избежать парадоксов и противоречий в теории. Развитие прикладных исследований требует постепенного уточнения эталонных интерпретаций терминов. Наиболее распространенный способ математического моделирования - это конструирование математического эталонно порожденного объекта с указанием соответствия его вычисляемых свойств и наблюдаемых свойств реального явления.

Некоторые эталоны соответствуют конкретизации понятия времени в математике. К ним относятся эталоны линейного порядка, операции и т. п. На основе этих эталонов можно строить специальные математические логики, способные порождать теории в условиях противоречивой исходной аксиоматики. В процессе такого построения возникает несколько альтернативных аксиоматик, лишенных обнаруженных противоречий. Каждой из них будет соответствовать своя теория, которую можно рассматривать, как возможное уточнение исходной информации.

Коганов А. В. Мозаичные индукторные пространства

Эта работа продолжает цикл исследований специальных топологий с ослабленной аксиомой объединения выделенных множеств - индукторных пространств. В этих пространствах каждой точке соответствуют свои окрестности (индукторы), которые могут не быть индукторами других, входящих в них точек. Вместо аксиомы произвольного суммирования открытых множеств используется аксиома транзитивной суммы, когда индуктор суммируется только с индуктором принадлежащей ему точки. Кроме этой аксиомы ранее вводился еще ряд постулатов, по аналогии с топологическими пространствами.

Как показал анализ, аксиоматику индукторных пространств можно упростить, без потери основных результатов и с усилением нескольких теорем. Достаточно потребовать выполнение аксиомы принадлежности точки каждому своему индуктору и аксиомы транзитивного суммирования индукторов.

На этой основе можно доказать необходимые и достаточные условия для представления любого процесса на пространстве уравнениями в локальной окрестности.

Упрощается конструкция некоторых индукций, при сохранении порождающей системы индукторов. Удается обобщить теорему о линейности группы автоморфизмов конического пространства при размерности выше двух на пространство, разбитое на домены с различными коническими индукциями. От доменов требуется полнота по индукции каждой их точки.

Эти результаты дают новую интерпретацию дифференциальным моделям физических процессов и действию группы Лоренца в СТО.

Коганов А. В. Понятие энтропии в моделировании процессов

Коганов А. В. Кортеж-мера сложности/энтропии/информации

Понятие энтропии возникло из моделирования термодинамических процессов. Последующее развитие физики, техники, кибернетики и информатики показало полезность этого понятия для широкого спектра исследований. Производные от него понятия информации и сложности также вошли во многие области приложений математики. Однако расширение круга приложений выявило недостаточность исходного определения. Появилось несколько модификаций меры энтропии/информации/сложности для разных условий применения.

Автор предлагает обзор основных существующих определений и вводит еще одно, основанное на представлении о сложности, как о потреблении ресурса при реализации объекта. Вводится конкретизация этого понятия (формула) для потребления ресурса памяти компьютера при реализации математической модели. Возникают также соответственные понятия энтропии и информации. Информация вводится, как сложность сообщения о перестройке модели. Энтропия определяется, как мера сложности множества возможных альтернативных состояний построенной модели.

Отличительной чертой этого определения является измерение сложности не одним числом, а набором чисел - вектором или кортежем, определяющим потребление базового ресурса, на котором основана сложность, для различных структурных элементов модели или сообщения. Например, информация простейшего сообщения об изменении состава элементов некоторого множества состоит из числа, характеризующего отброшенные элементы, и числа, характеризующего добавленные элементы. Такая кортеж-мера обладает свойствами, приближающими ее к интуитивному образу сложности или информации. Зная кортеж-сложность модели и кортеж-информацию сообщения об изменениях в этой модели, можно рассчитать кортеж-сложность новой модифицированной модели.