Время. Хаос. Квант: К решению парадокса времени

Введение I

Время -- фундаментальное измерение нашего бытия. Веками оно пленяло воображение художников, философов и ученых. Включение времени в концептуальную схему галилеевой физики ознаменовало рождение новой науки. Этот успех стал исходным пунктом в истории проблемы, которая занимает центральное место в нашей книге, -- отрицание стрелы времени [1]. В своей замечательной книге Эддингтон прозорливо предсказал конец господства в физике "первичных" (детерминистических) законов и наступление эры "вторичных" (статистических) законов, описывающих необратимые процессы. В том виде, как оно входит в фундаментальные законы физики от классической динамики до теории относительности и квантовой физики, время не содержит в себе различия между прошлым и будущим! Для многих физиков ныне это вопрос веры: до тех пор и поскольку речь идет о фундаментальном уровне описания, "стрелы времени" не существует.

Тем не менее во всех явлениях, с которыми нам приходится иметь дело, будь то явления из области макроскопической физики, химии, биологии, геологии, гуманитарных наук, будущее и прошлое играют различные роли. Существование стрелы времени здесь очевидно. Каким образом может возникнуть стрела времени из фундаментальной концептуальной схемы физики? Каким образом она может возникнуть из симметричного по времени мира? Или, быть может, воспринимаемое нами время -- не более чем иллюзия? Эти вопросы приводят к парадоксу времени -- центральной теме нашей книги.

Для людей, далеких от физики, такая проблема может показаться странной. Как физика, предъявляющая все более строгие требования к эксперименту, что означает все более тесную связь между теорией и опытом, дерзает отрицать различие между прошлым и будущим? Ответ на этот вопрос в какой-то мере относится к концептуальным основам физики. Как будет показано в части I нашей книги, парадокс времени не был осмыслен вплоть до второй половины XIX века. К тому времени законы динамики уже давно воспринимались как выражающие идеал объективного знания. А поскольку из этих законов следовала эквивалентность между прошлым и будущим, всякая попытка придать стреле времени некое фундаментальное значение наталкивалась на упорное сопротивление как угроза идеалу объективного знания. Таким образом, стреле времени было отказано на право вхождения в область феноменологии. За различие между прошлым и будущим несем ответственность мы, ибо в наше описание природы мы привносим аппроксимации.

Однако ныне разделять эту точку зрения более невозможно. В последние десятилетия родилась новая наука -- физика неравновесных процессов, связанная с такими понятиями, как самоорганизация и диссипативные структуры. До этого стрела времени возникала в физике через такие простые процессы, как диффузия или вязкость, которые в действительности можно понять, исходя из обратимой во времени динамики. Ныне ситуация иная. Мы знаем, что необратимость приводит ко множеству новых явлений, таких, как образование вихрей, колебательные химические реакции или лазерное излучение. Необратимость играет существенную конструктивную роль. Невозможно представить себе жизнь в мире, лишенном взаимосвязей, создаваемых необратимыми процессами. Следовательно, утверждать, будто стрела времени -- "всего лишь феноменология" и обусловлена особенностями нашего описания природы, с научной точки зрения абсурдно. Мы дети стрелы времени, эволюции, но отнюдь не ее создатели.

Парадокс времени ставит перед нами проблему центральной роли "законов природы". Отождествление науки с поиском "законов природы", по-видимому, является самой оригинальной концепцией западной науки. Прототипом универсального закона природы служит закон Ньютона, который кратко можно сформулировать так: ускорение пропорционально силе. Этот закон имеет две фундаментальные особенности. Он детерминистичен: коль скоро начальные условия известны, мы можем предсказывать движение. И он обратим во времени: между предсказанием будущего и восстановлением прошлого нет никакого различия; движение к будущему состоянию и обратное движение от текущего состояния к начальному эквивалентны.

Закон Ньютона лежит в основе классической механики, науки о движении материи, о траекториях. С начала XX века границы физики значительно расширились. Теперь у нас есть квантовая механика и теория относительности. Но, как мы увидим из дальнейшего, основные характеристики закона Ньютона -- детерминизм и обратимость во времени -- сохранились.

Понятие "закон природы" заслуживает более подробного анализа. Мы настолько привыкли к нему, что оно воспринимается как трюизм, как нечто само собой разумеющееся. Однако в других взглядах на мир такая концепция "закона природы" отсутствует. По Аристотелю, живые существа не подчиняются никаким законам. Их деятельность обусловлена их собственными автономными внутренними причинами. Каждое существо стремится к достижению своей собственной истины. В Китае господствовали взгляды о спонтанной гармонии космоса, своего рода статическом равновесии, связывающем воедино природу, общество и небеса. Идея о том, что в мире могут действовать законы, вызрела в недрах западной мысли. Отчасти эта идея восходит к стоикам, несмотря на ту роль, которую они отводили року. Немаловажное значение сыграли здесь христианские представления о Боге как о всемогущем Вседержителе, устанавливающем законы для всего сущего.

Для Бога все есть данность. Новое, выбор или спонтанные действия относительны с нашей, человеческой, точки зрения. Подобные теологические воззрения, казалось, полностью подкреплялись открытием динамических законов движения. Теология и наука достигли согласия. Как писал Лейбниц, "в ничтожнейшей из субстанций взор, столь же проницательный, как взор божества, мог бы прочесть всю историю Вселенной, quae sint, quae fuerint, quae mox futura trahantur (те, которые есть, которые были и которых принесет будущее -- Вергилий, Георгики, кн.IV, 399)" [2]. Таким образом, открытие неизменяющихся детерминистических законов сближало человеческое знание с божественной, вневременной точкой зрения.

Намеченная программа оказалась необычайно успешной. Однако на протяжении всей истории западной мысли неоднократно возникал один и тот же вопрос: как следует понимать новое, играющее центральную роль, в мире, управляемом детерминистическими законами?

Впервые этот вопрос возник задолго до рождения современной науки. Еще Платон связывал разум и истину с доступом к "бытию", неизменной реальностью, стоящей за "становлением". Становление, неиссякаемый поток воспринимаемых нами явлений, относится к сфере чистого мнения. Однако Платон сознавал парадоксальный характер такой позиции, принижавшей жизнь и мысль, которые представали как неотделимые от процесса становления. В "Софисте" Платон приходит к заключению, что нам необходимы и бытие, и становление.

С той же трудностью столкнулись и атомисты. Чтобы допустить возникновение нового, Лукрецию пришлось ввести "клинамен", возмущающий детерминистическое падение атомов в пустоте:

Я бы желал, чтобы ты был осведомлен здесь точно так же, Что, уносясь в пустоте, в направлении книзу отвесном, Собственным весом тела изначальные в некое время В месте неведомом нам начинают слегка отклоняться, Так что едва и назвать отклонением это возможно [3].

Обращение к клинамену часто подвергалось критике как введение чужеродного произвольного элемента в схему атомистического описания. Но и через два тысячелетия мы встречаем аналогичное утверждение в работе Эйнштейна, посвященной самопроизвольному испусканию света возбужденным атомом [4], где говорится, что "время и направление элементарных процессов определены случайным образом". Параллелизм особенно неожиданный, если мы вспомним, что Лукреций и Эйнштейн разделены, по-видимому, величайшей революцией в наших отношениях с природой -- рождением новой науки.

И клинамен, и спонтанное испускание света относятся к событиям , соответствующим вероятностному описанию. События и вероятности требуются и для эволюционного описания, будь то дарвиновская эволюция или эволюция истории человечества.

Как мы увидим, события также связаны с термодинамической стрелой времени в области сильно неравновесных процессов. Можем ли мы пойти дальше, чем Лукреций и Эйнштейн, "добавившие" события к детерминистическим законам? Можем ли мы видоизменить само понятие физических законов так, чтобы включить в наше фундаментальное описание природы необратимость, события и стрелу времени?

Принятие такой программы влечет за собой основательный пересмотр нашей формулировки законов природы. Он стал возможен благодаря замечательным успехам, связанным с идеями неустойчивости и хаоса.

Начнем с рассмотрения классической динамики. Представляется, что все системы, описываемые законом Ньютона, в чем-то одинаковы. Разумеется, каждому известно, что рассчитать траекторию падающего камня проще, чем траекторию "системы трех тел", например, Солнца, Земли и Юпитера. Но трудность расчета системы трех тел считалась чисто технической, вычислительной проблемой. Однако в последние десятилетия выяснилось, что подобное мнение неверно. Не все динамические системы одинаковы. Динамические системы подразделяются на устойчивые и неустойчивые . Маятник без трения устойчив: слабые возмущения оказывают малое воздействие на его движение, но для очень широкого класса (в действительности -- для подавляющего большинства) динамических систем слабые возмущения усиливаются. В некотором смысле крайним случаем неустойчивых систем являются "хаотические системы", для которых описание в терминах траекторий становится недостаточным, поскольку траектории, первоначально сколь угодно близкие, со временем экспоненциально расходятся.

Хаос мы вводим в гл.4, поскольку он появляется также при изучении макроскопических необратимых процессов. В этом контексте мы сталкиваемся с "негативными" аспектами хаоса -- невозможностью определенных предсказаний вследствие экспоненциальной расходимости соседних траекторий. Это соответствует "чувствительности к начальным условиям" -- обычному определению хаоса. Однако новый важный элемент состоит в том, что хаос имеет и "позитивные" аспекты. Так как траектории становятся чрезмерной идеализацией, мы вынуждены обратиться к вероятностному описанию в терминах ансамбля траекторий. Такое описание само по себе не ново: оно служит отправным пунктом развитого Гиббсом и Эйнштейном подхода к статистической физике. Здесь следует подчеркнуть одно весьма важное обстоятельство: вероятностное описание, вводимое нами для хаотических систем, несводимо . Оно неприменимо к отдельной траектории. Это утверждение представляет собой строгий результат, полученный в результате привлечения к анализу хаоса методов современного функционального анализа. Кроме того, в таком необратимом вероятностном описании прошлое и будущее играют различные роли. Хаос приводит к включению стрелы времени в фундаментальное динамическое описание .

Хаос позволяет разрешить парадокс времени, но он делает и нечто большее. Хаос привносит вероятность в классическую динамику, наиболее признанный прототип детерминистической науки. В данном контексте вероятность выступает не как порождение нашего незнания, а как неизбежное выражение хаоса. В свою очередь это приводит к новому определению хаоса. Мы показали, что хаос, определяемый, как обычно, приводит к несводимому вероятностному описанию. Теперь мы обращаем это утверждение : все системы, допускающие несводимое вероятностное описание, по определению будем считать хаотическими . Таким образом, системы, о которых идет речь, допускают описания не в терминах отдельных траекторий (или отдельных волновых функций в квантовой механике), а только в терминах пучков (или ансамблей) траекторий.

С операциональной точки зрения, область хаоса необычайно расширяется и включает в себя обширные семейства классических или квантовых систем, в действительности -- всех систем, соответствующих фундаментальному описанию природы, как мы понимаем его сегодня, в терминах взаимодействующих полей. Столь широкое обобщение понятия хаоса позволяет констатировать необходимость новой формулировки законов физики. Ныне существуют две формулировки законов физики: первая основана на исследовании траекторий или волновых функций, вторая -- на теории ансамблей Гиббса и Эйнштейна. С динамической точки зрения, вторая формулировка не вносит нового элемента , поскольку, будучи примененной к отдельным траекториям или волновым функциям, сводится к первой формулировке. Теперь же мы приходим к третьей формулировке, имеющей совершенно иной статус: новая формулировка применима только к ансамблям и справедлива только для хаотических систем. Как мы увидим, эта формулировка приводит к результатам, которые не могут быть получены ни на основе ньютоновской механики, ни на основе ортодоксальной квантовой механики. Именно она образует базис для синтеза, объединяющего свойства микромира и макромира, поскольку она вводит необратимость в фундаментальное описание природы.

Мотивацией нашей работы был парадокс времени. Но парадокс времени не существует сам по себе. С ним тесно связаны два других парадокса, которые, как мы увидим, имеют самое непосредственное отношение к отрицанию стрелы времени: "квантовый парадокс" и "космологический парадокс".

В квантовой механике фундаментальное описание проводится в терминах "волновых функций". Принципиальное различие между классической динамикой и квантовой механикой состоит в том, что классические траектории непосредственно соответствуют "наблюдаемым", тогда как квантовомеханические волновые функции соответствуют амплитудам вероятности. Чтобы получить сами вероятности, нам необходим дополнительно "коллапс" волновой функции, не входящий в фундаментальное уравнение квантовой механики (мы имеем в виду уравнение Шредингера, играющее в квантовой механике роль, аналогичную той, которую уравнение Ньютона выполняет в классической динамике).

Двойственная структура квантовой механики -- волновая функция и ее коллапс -- приводит к концептуальным трудностям и спорам, продолжающимся с момента возникновения квантовой механики на протяжении вот уже более шестидесяти лет. Хотя квантовую механику с полным основанием называли наиболее успешной из всех существующих физических теорий, ей так и не удалось выяснить физическую природу "коллапса". Многие физики пришли к заключению, что ответственность за коллапс несет наблюдатель и производимые им измерения. В этом и заключается квантовый парадокс , вводящий субъективный элемент в наше описание природы.

Между парадоксом времени и квантовым парадоксом существует тесная аналогия. Оба парадокса приписывают нам весьма удивительную роль. Человек отвечает и за стрелу времени, и за переход от квантовой "потенциальности" к квантовой "актуальности", т.е. за все особенности, связанные со становлением и событиями в нашем физическом описании.

Теперь мы можем дать реалистическую интерпретацию квантовой теории. Поскольку описание квантовых хаотических систем производится не в терминах волновых функций, а в терминах вероятностей, отпадает необходимость в "коллапсе волновой функции". Мы подробно покажем, как временная эволюция хаотических систем трансформирует волновые функции в ансамбли. Именно квантовый хаос, а не акт наблюдения, опосредствует наш доступ к природе.

Элементы, включающие в себя хаос, стрелу времени и решение квантового парадокса, приводят нас к более целостной концепции природы, в которой становление и "события" входят на всех уровнях описания. Этим объясняется название нашей книги: "Время, хаос, квант" . В традиционном понимании законы природы были законами, описывающими замкнутую детерминистическую Вселенную, прошлое и будущее которой считались эквивалентными. Такое положение рассматривалось как триумф человеческого разума, проникшего за кажимость изменения. Однако этот подход привел к отчуждению фундаментальной физики, мыслившей в терминах традиционных законов природы, от всех остальных наук, исходивших в своих описаниях из допущения о существовании стрелы времени. Теперь мы понимаем, что детерминистические симметричные во времени законы соответствуют только весьма частным случаям. Они верны только для устойчивых классических и квантовых систем, т.е. для весьма ограниченного класса физических систем. Что же касается несводимых вероятностных законов, то они приводят к картине "открытого" мира, в котором в каждый момент времени в игру вступают все новые возможности.

Мы упомянули третий парадокс: космологический парадокс. Современная космология приписывает нашей Вселенной возраст: Вселенная родилась в результате Большого Взрыва около 15 миллиардов лет назад. Ясно, что это было событием . Но в традиционную формулировку законов природы события не входят. Траектории или волновые функции не начинаются и не кончаются. Вот почему гипотеза Большого Взрыва поставила физику "перед ее величайшим кризисом". Стивен Хокинг и другие высказали предположение о том, что Большой Взрыв мог иметь чисто геометрический характер. В геометрической Вселенной время было бы "акцидентом". Космологическое время было бы иллюзией; различие между временем и пространством, проводимое общей теорией относительности Эйнштейна, исключалось путем введения "мнимого" времени, которое должно было рассматриваться как реальное. Именно это мы имеем в виду, когда говорим о "космологическом парадоксе". Такой подход привел бы к окончательному уничтожению всякой связи между бытием и становлением. Как пишет Хокинг о Вселенной, "она просто должна быть, и все!" [5].

С нашей точки зрения, события являются следствием неустойчивостей хаоса. Это утверждение остается в силе на всех уровнях, включая и космологический. В рамках детерминистического подхода все, в том числе и создание этой книги, предопределено с момента Большого Взрыва. В нашей же формулировке законов природы последние относятся к вероятностям. Мы приходим к образу природы на ранних этапах ее развития, аналогичному образу ребенка: отваживаясь делать свои первые шаги, ребенок может в дальнейшем стать музыкантом, юристом или зубным врачом, но выбрав что-нибудь одно, а не все сразу. К счастью для нас, эволюция Вселенной привела к возникновению жизни на Земле и, в конечном счете, к появлению человека.

Х систем, классических и квантовых, с которыми мы встречаемся в природе.

Устранение расходимостей Пуанкаре начинается с важного наблюдения. И в классической, и в квантовой физике время входит в описание двумя различными способами: во-первых, как параметр в уравнениях движения и, во-вторых, при введении "хронологического упорядочения". В качестве примера хронологического упорядочения рассмотрим плоскую волну, рассеявшуюся на препятствии и породившую сферическую волну. Если подходить ко времени как к параметру , то ничто не мешает нам рассмотреть падающую на препятствие сферическую волну, которая после рассеяния порождает плоскую волну, хотя ничего подобного в природе мы никогда не наблюдали. Мы наблюдаем прямое рассеяние, но никогда не наблюдаем обратное рассеяние. Прямое и обратное рассеяния отличаются друг от друга хронологическим упорядочением. Различие между прямым и обратным рассеянием обычно связывают с "граничными условиями": две возможности могут быть эквивалентными с динамической точки зрения (когда время выступает только как параметр), однако приготовление системы к обратному рассеянию оказывается недостижимым. Но какова природа этой недостижимости? И в этом случае феноменологическое нарушение симметрии во времени часто сводят к практическому ограничению: мы не можем приготовить системы с граничными условиями, которые приводили бы к обратному рассеянию.

Характерная особенность нашего метода состоит в том, что оба аспекта времени -- время как параметр и как хронологическое упорядочение -- играют существенную роль. Одних лишь граничных условий не достаточно. Для устранения расходимостей Пуанкаре необходимо хронологическое упорядочение. В простых частных случаях хронологическое упорядочение осуществимо на уровне траекторий или волновых функций. Расходимости Пуанкаре, после того как они устранены, проявляются в нарушенной симметрии во времени. Для устойчивых динамических систем уравнения движения, а также их решения симметричны во времени. Для неустойчивых динамических систем уравнения остаются симметричными, но возникают два семейства решений с нарушенной симметрией во времени. Это нарушение симметрии играет центральную роль в решении парадокса времени: природа менее симметрична, чем можно было бы ожидать, исходя из уравнений классической и квантовой физики.

В качестве примера рассмотрим распад нестабильной частицы. Одно семейство решений, которое мы получаем, предсказывает этот распад в нашем будущем, другое -- в нашем прошлом (частица как бы спонтанно возникает из небытия подобно тому, как в случае обратного рассеяния рассеянная сферическая волна порождает плоскую волну). В природе реализуется лишь один тип решений, а именно семейство, соответствующее распаду в нашем будущем.

В общем случае хронологическое упорядочение должно производиться на уровне статистического описания , оперирующего с ансамблями. Именно в рамках этого статистического описания мы можем устранить расходимости Пуанкаре и сформулировать последовательное динамическое описание для хаотических систем, классических и квантовых.

Так как необратимость и вероятность традиционно было принято связывать с неполнотой знания, важно подчеркнуть, что наш подход повышает операциональную мощь классической и квантовой физики. Открывается новый подход к классам проблем, которые до сих пор оставались нерешенными, поскольку они соответствуют неинтегрируемым системам. Кроме того, существует принципиальное различие между нашими результатами и результатами ортодоксальной теории, классической и квантовой. Согласно традиционной квантовой механике, численные значения физической величины получаются как вещественные собственные значения операторов и, следовательно, соответствуют частотам (например, наблюдаемым в спектроскопии). В отличие от традиционного подхода, в нашем подходе к хаотическим системам собственные значения получаются комплексными и описывают, в дополнение ко всему, процессы распада, затухания или релаксации, т.е. необратимые процессы. Это стало возможно только потому, что мы отказались от использования гильбертова пространства. Именно в обобщенных -- оснащенных -- пространствах необратимые процессы естественно входят в описание временной эволюции, начиная с динамики и не требуя никаких специальных допущений.

Коль скоро мы по достоинству оценили важность необратимых процессов, было чрезвычайно интересно рассмотреть с этой точки зрения космологию (гл.11). Здесь мы подходим к границе современного знания. Действительно, понимание самых первых моментов в жизни Вселенной -- так называемой эры Планка -- потребовало бы непротиворечивой теории, которая объединила бы квантовую механику и общую теорию относительности. Такая унификация сталкивается с многочисленными трудностями. Одна из трудностей связана с ролью наблюдателя в обычной квантовой теории. Кто наблюдает Вселенную? При нашем подходе подобной трудности не существует, поскольку мы не требуем коллапса волновой функции. Другая трудность возникает при описании явления того типа, которое мы можем связать с "рождением Вселенной". Что это такое -- сингулярность, как следует из "стандартной модели" в космологии, или неустойчивость? Описание "первичного явления" всегда требует известной экстраполяции, поскольку физические условия, при которых оно происходило, сильно отличаются от наблюдаемых ныне даже в самых мощных ускорителях. Однако альтернатива -- сингулярность или неустойчивость -- относится к выбору одной из двух весьма различных концептуальных схем, заслуживающих того, чтобы исследовать их подробнее.

Большой Взрыв как сингулярность принадлежит великой классической традиции, неотъемлемыми составными частями которой являются общая теория относительности и стандартная космологическая модель. При таком описании не существует выделенного направления времени: происходящая ныне космологическая эволюция сопровождается расширением Вселенной, но с тем же успехом при других начальных условиях расширение могло бы смениться сжатием. В отличие от этого, представление о неустойчивости, своего рода фазовом переходе, переводящем Вселенную из одного состояния в другое, выдвигает на передний план необратимость. А что может быть более необратимым, чем возникновение материи из некоего предматериального "вакуума"? Кроме того, неустойчивость снова приводит нас к проблеме хаоса.

Мы уже упоминали о том, что хаос вынуждает нас пересмотреть самый смысл законов природы. Именно здесь, в мире квантовой гравитации, следствия принятой нами новой концептуальной схемы выступают с полной отчетливостью. Даже Вселенная не является замкнутой системой. Она погружена в квантовый вакуум. Ее рождение следует не детерминистическому закону, а реализует некую "возможность". Ниоткуда не следует, что другие реализации не были бы совместимы с законами квантовой гравитации в первые мгновения после Большого Взрыва. Аналогичным образом, все законы физики в конце концов относятся к возможностям. Ясно, что реализация мира, каким мы его знаем, с генетическим кодом и человеческим мозгом, является результатом этих возможностей. Но никакое теоретическое знание, будучи продуктом деятельности человеческого мозга, никогда не может выйти за рамки открытых, вероятностных характеристик той истории, которая привела к его созданию.

Будущее при нашем подходе перестает быть данным; оно не заложено более в настоящем. Это означает конец классического идеала всеведения. Мир процессов, в котором мы живем и который является частью нас, не может более отвергаться как видимость или иллюзия, определяемая нашим ограниченным способом наблюдения. На заре западного мира Аристотель ввел фундаментальное различие между божественным и вечным небесным миром и изменяющимся и непредсказуемым подлунным миром, к которому принадлежит и наша Земля. В определенном смысле классическая наука была низведением на Землю аристотелевского описания небес. Преобразование, свидетелями которого мы являемся сегодня, можно рассматривать как обращение аристотелевского хода: ныне мы возвращаемся с Земли на небо.

III

Хотя наша книга является результатом многолетних исследований (первые исследования были выполнены старшим (по возрасту) автором еще в конце сороковых годов), лишь теперь у нас появилась уверенность, что нам удалось построить непротиворечивую схему. Проблема времени всегда привлекала нас, и мы всегда были убеждены в том, что происхождение необратимости коренится в проблеме неустойчивости. Но на пути к реализации наших замыслов встретилось немало препятствий, и чисто технических, и концептуальных. Дирак сказал как-то, что прогресс в теоретической физике часто бывает связан с преодолением предрассудков. Это в полной мере относится и к нашему случаю. Но основная проблема, суть самой большой трудности, связанной с парадоксом времени, состояла в том, чтобы избежать традиционного пути, ведущего от обратимой динамики к необратимости. Действительно, как только рассматривается некоторая аппроксимативная (крупнозернистая) версия классического или квантового описания, мы можем получить стрелу времени. Мы были глубоко убеждены в том, что за такими аппроксимациями скрывается более глубокая истина. Почему для того, чтобы установить связь между фундаментальной теорией и экспериментальными результатами, нам непременно нужно прибегать к аппроксимациям? Парадокс времени, равно как и связанные с ним парадоксы, мы рассматривали как вызов, как проблему, решение которой требует расширения основной концептуальной схемы теоретической физики. Разумеется, мы находимся в самом начале пути. Рассматриваемые нами примеры выбраны из-за их простоты, но мы убеждены в том, что нам удалось сделать первые шаги к более единому, а следовательно, и более удовлетворительному видению природы.

Формулировка новой, непротиворечивой, схемы возникла в результате слияния трех линий исследований. Во-первых, неравновесная статистическая механика привела к лучшему пониманию физического смысла времени: это привело к формулировке динамики корреляции -- предшественницы несводимого вероятностного описания, играющего центральную роль в нашей книге (см. гл.8). Во-вторых, решающую роль сыграла теория хаоса, начало которой было заложено в трудах Пуанкаре, а последующее развитие связано с именами Колмогорова и его сотрудников. В-третьих, мы применили к хаосу идеи и методы тех разделов функционального анализа, основы которых были заложены в работах Гельфанда, а дальнейшее развитие связано среди прочих с именами А. Бома и Сударшана. Это позволило нам в конечном счете сформулировать "законы хаоса". Определению временной эволюции хаотических систем в терминах несводимого вероятностного представления мы посвящаем гл.9 и 10.

При описании наших методов нам понадобятся некоторые технические термины. Это неизбежно, потому что каждый шаг должен быть обстоятельно мотивирован. Однако мы не пытались приводить доказательства и свели до минимума все технические подробности. Желающие могут найти их в более специальных публикациях. Чтобы помочь широкому кругу читателей разобраться в существе рассматриваемых нами проблем, мы в заключение приводим краткий чисто качественный обзор частей III и IV. Тем не менее при чтении некоторых разделов нашей книги у читателя все же могут возникнуть определенные трудности. Автор одной из недавно вышедших книг посетовал на то, что каждая формула уменьшает вдвое число потенциальных читателей. Если бы это действительно было так, то редкий читатель мог бы похвастаться тем, что дочитал до конца книгу с формулами. Однако мы придерживаемся другой точки зрения. Мы глубоко убеждены в том, что существует страстное стремление лучше понять наши отношения с природой и подвергнуть их более глубокому анализу -- так, как это делает современная наука. Именно читателям, проникшимся этой высокой страстью, и предназначается наша книга.

История этой книги весьма любопытна. Первоначально она была задумана нами как перевод нашей книги "Между временем и вечностью", опубликованной в 1988 г. [6]. В этой работе, как и в нашей более ранней книге "Порядок из хаоса" [7], мы подчеркивали важность парадокса времени и роль неустойчивых динамических систем в его решении. Однако за последние годы осуществление нашей программы продвинулось столь быстрыми шагами, что мы приостановили перевод книги "Между временем и вечностью" и написали по существу новую книгу с другим названием, в которую вошли лишь несколько первых глав предыдущей книги.

В книгу вошли в основном итоги работы наших групп в Брюсселе и Остине на протяжении более четырех десятилетий. Мы не можем должным образом выразить нашу благодарность каждому, кто принимал участие в работе, но хотели бы высказать свою особую признательность докторам И. Антониу, Х. Хасегаве, Т. Петроски и С. Тасаки. Их роль на заключительном этапе работы была решающей.

Мы хотели бы также поблагодарить Европейское сообщество, Фонд Уэлша (штат Техас, США), Международные Институты физики и химии Сольвэ (Брюссель, Бельгия), Министерство энергетики Соединенных Штатов и Французское сообщество Бельгии за многолетнюю поддержку нашей работы. Мы признательны Карло Рубино за помощь в переводе на английский язык начальной части этой книги, первоначально написанной по-французски. Дин Дриб тщательно вычитал окончательный вариант текста, внес многочисленные поправки и сделал весьма ценные замечания. Английский -- не наш родной язык, и весьма возможно, что, несмотря на тщательное редактирование, некоторые особенности нашего родного языка все же сохранились в окончательном варианте текста.

Введение II

Несколько слов следует теперь сказать о структуре нашей книги. Изложение строится вокруг парадокса времени, его открытия, следствий из него и его разрешения. К числу основных тем относится также связь между парадоксом времени и двумя другими парадоксами, квантовым и космологическим. Кроме того, значительная часть книги посвящена неустойчивости и хаосу, поскольку последний, с нашей точки зрения, является основным элементом, приводящим к решению всех трех парадоксов.

Часть I описывает историю и идеологическую подоплеку парадокса времени. Как можно было отрицать существование стрелы времени вопреки всему, о чем свидетельствует феноменология? Принятие парадокса времени невозможно понять, не учитывая свойственное западной науке стремление к умопостижению явлений. Формулировка фундаментальных симметричных по времени детерминистических законов природы отвечала этому стремлению, но цена такой формулировки оказалась достаточно высокой, поскольку симметричные во времени законы природы привели к непреодолимому дуализму, отделившему людей от того мира, который они учились описывать и понимать. Между одним берегом -- Вселенной, описываемой как автомат, и другим берегом -- человеком со всей его историей и творческой деятельностью, невозможно было навести никаких мостов.

Но стремление к умопостижению окружающего мира отнюдь не замкнуто в своих собственных рамках. Последние достижения внутри самой физики требуют пересмотра нашей концепции природы. В частности, мы уже упоминали о том, что в последние десятилетия стали свидетелями возникновения физики неравновесных процессов. В настоящее время сотни лабораторий по всему миру занимаются изучением таких проблем. Новый поворот событий привел к "возрождению парадокса времени", поскольку в неравновесных процессах стрела времени играет существенную роль. В последние годы появилось немало книг, описывающих новый подход к природе, который открывает перед нами исследование сильно неравновесных систем. Однако и в этих книгах, написанных выдающимися физиками, проповедуется идея о том, что стрела времени является следствием вводимых нами аппроксимаций, отсутствия у нас полной информации. Это свидетельствует о том, что новые перспективы, открытые физикой неравновесных состояний, еще не стали достоянием значительной части научного сообщества. Учитывая это, мы включили в часть II нашей книги обсуждение некоторых перспектив, открытых неравновесной физикой.

Но главное, чему посвящена наша книга, начинается с части III. В гл.5 мы впервые описываем простейший пример хаоса -- хаос, порождаемый "отображениями", т.е. системами, эволюция которых во времени происходит дискретными шагами. Мы отмечаем трудности, возникающие при попытке описать эти системы в терминах траекторий, и переходим к вероятностному описанию. Попытки такого описания неоднократно предпринимались в прошлом, но лишь недавно нам удалось получить строгую формулировку временной эволюции в рамках несводимого вероятностного описания. В этом введении мы еще вернемся к математическим аспектам этой проблемы.

В гл.6 мы рассматриваем динамические системы, представляющие основной интерес для физики. На этот раз, в отличие от отображений, эволюция во времени непрерывна. Удобным исходным пунктом для нашего обсуждения служит фундаментальная теорема, доказанная почти сто лет назад великим французским математиком Анри Пуанкаре. В несколько схематическом виде поставленный Пуанкаре вопрос можно было бы сформулировать так: можем ли мы "исключить" взаимодействия? Системы, для которых такое исключение возможно, Пуанкаре назвал "интегрируемыми". Интегрируемые системы становятся изоморфными системам свободных частиц, и простейшая форма, которую принимают их уравнения движения, делает возможным интегрирование этих уравнений, т.е. явное вычисление траекторий.

Все динамические системы, описываемые в элементарных учебниках, интегрируемы. К числу интегрируемых относятся, например, движения системы двух тел, такие, как система Земля -- Солнце. Однако для большинства динамических систем ответ на вопрос Пуанкаре оказался отрицательным. В своей фундаментальной теореме, сформулированной в 1889 г., Пуанкаре доказал, что в общем случае динамические системы не интегрируемы . Исключить взаимодействия невозможно.

И в том, что это так, нам очень повезло. Если бы ответ на вопрос Пуанкаре оказался положительным, то между миром, описываемым в динамических терминах, и нашим собственным миром, с согласованностью его химических и биологических процессов, невозможно было бы навести мосты. Динамический мир, изоморфный системе свободных частиц, не может придать какой-либо смысл становлению. Кроме того, работа Пуанкаре показала, почему большинство динамических систем не интегрируемы и взаимодействия не могут быть исключены: причина того и другого кроется в возникновении резонансов .

Идея резонанса хорошо всем знакома: еще в детстве мы знали, как раскачивать качели. Пуанкаре показал, что при попытке исключить взаимодействия резонансы приводят к расходимостям -- в этом и состоит проблема "малых знаменателей", с которой столкнулись еще основоположники классической динамики Лагранж и Лаплас. Пуанкаре показал, что выхода из такого рода затруднений нет: проблема малых знаменателей принадлежит к числу принципиально неразрешимых проблем динамики . Сначала полученный Пуанкаре результат вызвал интерес со стороны только узкого круга специалистов. Большинство физиков склонны были видеть в проблеме малых знаменателей чисто техническую проблему, преодолимую в конечном счете с помощью достаточно тонких математических ухищрений. Но с появлением теории КАМ (Колмогорова, Арнольда и Мозера) в начале 50-х гг. ситуация резко изменилась. Коротко говоря, теория КАМ показала, что резонансы приводят к траекториям двух типов: траекториям с "нормальным" поведением, знакомым нам по исследованиям движения планет в рамках модели двух тел и траекториям со случайным поведением.

Важно заметить, что теория КАМ не решила проблему расходимостей Пуанкаре. Она привела к классификации траектории. Теперь нам необходимо выйти за рамки теории КАМ и устранить расходимости Пуанкаре , чтобы построить новое описание временной эволюции неинтегрируемых хаотических систем. В свою очередь, такой подход трансформирует и смысл теоремы Пуанкаре. На протяжении десятилетий считалось, что теорема Пуанкаре является препятствием на пути применения методов, оказавшихся столь успешными в случае интегрируемых систем. Но теперь нам представляется удобный случай объединить два, казалось бы, различных континента -- динамику и необратимые процессы, традиционно ассоциируемые с возрастанием энтропии. Правда, законы движения применительно к маятнику без трения обратимы во времени, но теорема Пуанкаре показывает, что маятник не может считаться олицетворением классической динамической системы: маятник принадлежит к числу интегрируемых систем. Чтобы построить мост между старым континентом устойчивых динамических систем и миром диссипативных процессов с возрастанием энтропии, нам требуются неинтегрируемые хаотические системы с расходимостями Пуанкаре.

Гл.7 посвящена квантовой механике. Квантовая механика порождает новый образ мышления, поскольку вводит понятие операторов. Физические величины -- энергия, координаты и т.д. -- заменяются в квантовой теории операторами, а численные значения физических величин мы находим, решая задачу на собственные значения. Смысл этих технических терминов объясняется в гл.7. Сейчас же мы хотим только подчеркнуть тесную аналогию между программой решения задач на собственные значения, намеченной Гейзенбергом, и классической программой исключения взаимодействий для интегрирования уравнений движения. Обе программы оказались необычайно успешными, но в квантовой механике ряд важных ситуаций (например, взаимодействие между веществом и светом) снова приводит к расходимостям. И здесь мы сталкиваемся с вопросами, затрагивающими самые основания квантовой механики. Как сказываются расходимости Пуанкаре на применимости описания с помощью волновых функций? Что такое квантовый хаос? Смысл классического хаоса концептуально очень прост: соседние траектории экспоненциально разбегаются. Это соответствует "чувствительности к начальным условиям". Однако такое определение хаоса не может быть перенесено на центральное понятие квантовой механики -- на волновые функции. Теорема же Пуанкаре, как мы покажем, применима к важным классам квантовых систем (мы имеем в виду "большие" системы, например, взаимодействия вещество--поле). Затем мы снова приходим к несводимому вероятностному описанию, которое не может быть сведено к изучению отдельных волновых функций. Такие системы мы называем хаотическими.

Приведенное выше определение хаоса охватывает классические и квантовые системы. В обоих случаях оно отнюдь не означает, что фундаментальные уравнения (Ньютона или Шредингера) утрачивают силу и становятся неприменимыми. Нет, из нового определения следует, что в общем случае невозможно вывести из этих уравнений заключение о поведении отдельных траекторий или отдельных волновых функций. Эволюция хаотических систем во времени требует несводимого вероятностного описания.

Прежде чем перейти к математической формулировке теории хаоса, мы в гл.8 кратко излагаем основные понятия традиционного статистического описания микромира. Мы уже упоминали о том, что почти сто лет назад Гиббс и Эйнштейн предложили вторую формулировку физики -- не в терминах траекторий, как в классической механике (и не в терминах волновых функций, как в квантовой механике), а в терминах ансамблей и распределений вероятности. Этот важный шаг был необходим для включения в физику понятия термодинамического равновесия. Но с точки зрения динамики ничего нового достигнуто не было. Дело в том, что вероятностное описание Гиббса--Эйнштейна сводимо . Всякая динамическая проблема, решаемая в рамках такого подхода, может быть решена в терминах траекторий или волновых функций и наоборот. Статистическая физика не дает ответа на возникающую в связи с ее предметом феноменологическую проблему: как описать приближение к равновесию? Каково динамическое происхождение стрелы времени?

Для Гиббса и Эйнштейна теория ансамблей по существу была вычислительным инструментом. Для нас же она стала концептуальным средством, необходимость которого обусловлена потерей устойчивости. Многие физики, как хорошо известно, надеются, что в один прекрасный день вероятностный элемент удастся исключить из квантовой теории (хотя уравнение Шредингера столь же детерминистично, как уравнение Ньютона, оно описывает эволюцию во времени амплитуд вероятностей) и вернуться к классической ортодоксии. Мы же идем в противоположном направлении. При нашем подходе статистический элемент становится фундаментальным и в классических, и в квантовых "хаотических" системах.

Гл. 5--8 вводят читателя в описание природы средствами ортодоксальной классической и квантовой механики, а также статистической механики. Подчеркивается ограниченность методов, разработанных в прошлом. Это необходимо для понимания сути методов, излагаемых в части IV (гл.9 и 10).

Исходным пунктом и на этот раз, как в гл.5, мы выбираем исследование отображений. Используя соответствующее обобщение методов, впервые вошедших в физику вместе с квантовой теорией, мы получаем возможность описывать эволюцию во времени распределения вероятности -- центрального объекта в описании хаотических систем. Именно здесь мы даем первый пример несводимого вероятностного описания, применимого к хаотическим системам. Такая несводимость является прямым следствием неустойчивости.

Шаг, который нам приходится делать, в некотором смысле напоминает тот шаг, который был вынужден сделать Эйнштейн, чтобы установить связь между пространством-временем, с одной стороны, и материей -- с другой. В ньютоновском описании пространство было евклидовым, а время текло равномерно. Никакой связи между "содержимым" (материей) и "оболочкой" (пространством и временем) в ньютоновском описании не было. В отличие от геометрии в механике Ньютона, геометрия в общей теории относительности Эйнштейна перестает быть евклидовой, она зависит от распределения материи. В ортодоксальной квантовой механике пространство, в котором происходит эволюция волновых функций, гильбертово. То же гильбертово пространство имеет фундаментальное значение и для статистического описания в терминах ансамблей. В дальнейшем мы опишем свойства гильбертова пространства несколько подробнее. Пока же упомянем лишь о том, что гильбертово пространство можно рассматривать как обобщение евклидова пространства. Мы покажем, что хаос вынуждает нас отказаться от гильбертова пространства и перейти к обобщенным пространствам (часто называемым "оснащенными" пространствами), структура которых зависит от конкретной формы неустойчивости. Таким образом, эволюцию распределения вероятности надлежит описывать в пространстве, которое зависит от динамики . Решение парадокса времени, равно как и других парадоксов, возможно только потому, что пространство становится "темпорализованным", поскольку прошлое и будущее играют не одну и ту же роль.

Обобщенные ("оснащенные") пространства были впервые введены в математическую литературу И. М. Гельфандом и его коллегами в 60-е гг. Взаимосвязь между оснащенными пространствами и хаосом была понята лишь совсем недавно. Именно оснащенные пространства образуют основу нашего утверждения о том, что системы, допускающие несводимое вероятностное описание, по определению хаотические .

В гл.10 мы распространяем полученные нами результаты на ситуации, представляющие интерес в классической и квантовой теории. Основная трудность здесь состоит в том, чтобы исключить расходимости Пуанкаре. Проблему малых знаменателей удается решить для важного класса неинтегрируемых систем, которые мы назвали большими системами Пуанкаре. Мы не будем давать сейчас строгое определение. Упомянем лишь о том, что этот класс включает в себя помимо других те проблемы квантовой теории, которые связаны с квантовыми "скачками", т.е. испусканием излучения, его поглощением, взаимодействующими полями, а также все проблемы, традиционно рассматриваемые в статистической механике. Таким образом, большие системы Пуанкаре охватывают большинство динамических систем, классических и квантовых, с которыми мы встречаемся в природе.