Гипотеза нормальности числа

Максим Григорьевич Годарев-Лозовский, This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.

председатель СПб Философского клуба Российского философского общества, Дом ученых в Лесном, руководитель научно-философского семинара Российского философского общества в СПб.

Примем необходимую нам аксиому Лозовского: множество десятичных знаков периодической дроби потенциально бесконечно и имеет мощность конечного множества, а множество десятичных знаков непериодической дроби актуально бесконечно и имеет мощность счетного бесконечного множества.

Примем следующее рабочее определение нормального десятичного числа. «Вообще, число х ∈ [0,1] называется нормальным по базису g, если частота каждой цифры в разложении х по базису g одна и та же (1/g). Число х называется нормальным, если оно нормально при разложении по любому базису». При этом, как мы полагаем, десятичное число, имеющее актуально бесконечное множество знаков, нормально к основанию 10, только если выполняются два логически обязательных условия:

1) подмножество каждой из цифр в основании нормального числа, находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех цифр в основании этого числа;

2) в алгоритмически вычисляемом множестве знаков нормального числа присутствуют все цифры от 0 до 9.

Докажем теорему о нормальности числа в десятичной системе счисления.

1) Число = 3, 141… имеет актуально бесконечное множество десятичных знаков.

2) Актуально бесконечное счетное множество – это всякое множество А равномощное множеству всех натуральных чисел, а также имеющее правильную часть В, равномощную всему (целому) множеству А, т. е. |В| = |А|.

3) Потенциально бесконечное множество не обладает свойством |В| = |А|, т.е. часть его не равномощна целому множеству.

4) То, что какая-либо цифра десятичной системы, выявляемого в будущем множества знаков числа ,вообще перестала бы неожиданно обнаруживаться, т.е. вдруг оказалась бы в «особом положении по отношению к этому числу», – вероятность подобного события стремится к 0. Это обстоятельство отмечал еще Э. Борель.

5) Каждое из подмножеств любой из десяти цифр: |0|; |1|; |2|; |3|; |4|; |5|; |6|; |7|; |8|; |9| десятичных знаков числа  = 3,141…, является правильной частью всего актуально бесконечного множества десятичных знаков этого числа. 

6) Мы доказали, что теоретически число , является нормальным числом к основанию 10.

Существуют следующие экспериментальные подтверждения нашей теоремы.

1) Все цифры числа «Пи» встречаются в среднем с одинаковой частотой, что согласуется с нашими первоначальными предположениями и предложенной теоремой.

2) Вероятность обнаружения произвольной последовательности цифр в числе «Пи» в целом обратно пропорциональна длине самой последовательности – что соответствует нашим первоначальным предположениям и предложенной теореме.

3) Математическое ожидание: вероятность обнаружить потенциально бесконечную последовательность одних и тех же цифр (например, последовательность, состоящую из одной и той же повторяющейся цифры 7) – будет стремиться к 0. Это также соответствует нашим исходным допущениям и предлагаемой теореме.

Каковы допустимы основные выводы из предложенной гипотезы?

1) Тождественность части целому, в актуально бесконечном множестве десятичных знаков, обуславливает нормальность просто определяемого иррационального числа, которое представляет непериодическая дробь.

2) Просто определяемое иррациональное число нормально к основанию 10 (в общем случае к основанию g), если: в вычислительном эксперименте выявляется конечное подмножество каждой из лежащих в основании этого числа десяти (в общем случае g) цифр.

3) Выявленные вычислительным экспериментом, в дробной части просто определяемых чисел, незначительные отклонения от абсолютно равномерной частоты лежащих в их основании цифр – несут информационную нагрузку и требуют осмысления.

4) Проблема флуктуаций эфира и особенности флуктуаций физических взаимодействий во времени опосредованно могут быть связаны с «флуктуациями реальности математической».

Просим участников подготовиться к заседанию семинара по рекомендованной докладчиком литературе:

1. Годарев-Лозовский М. Г. Числовая модель познания бесконечного // Философия и гуманитарные науки в информационном обществе. – 2021 – № 1 – С. 31–43.
2. Годарев-Лозовский М.Г. Гипотеза нормальности числа. // Девятая международная научно-практическая конференция "Философия и культура информационного общества – 2021". 18-20 ноября 2021г. Тезисы докладов. ГУАП. 2021. С.40-42. (Скачать)