Аннотация

Работа имеет обзорный характер и представляет собой первую (математическую) часть комплексного исследования. В компактной форме даны сведения об алгебрах гиперкомплексных чисел (и поличисел) с ассоциативным умножением: кватернионов, бикватернионов, двойных и дуальных чисел. Показано, что единицы всех этих алгебр, а также алгебр действительных и комплексных чисел могут быть представлены как квадратичные комбинации двумерных векторов локального базиса, определенного на некоторой фундаментальной поверхности. Приведены также основные соотношения дифференциальной геометрии кватернионных пространств.

The paper is the first (mathematical) part of a large review covering involvement of hypercomplex numbers in formulations of physical laws. Principal notions and correlation defining associative hypercomplex (and polynumber) algebras are shortly given, those of quaternions, biquaternions, double and dual numbers. The units of all these algebras (as well as units of real and complex numbers) are shown to be represented by quadratic combinations of two-dimensional vectors of a local basis on a fundamental surface. Main relations of differential geometry of quaternion spaces are also exposed.