COLLECTIVE POLYNOMIAL DYNAMICS ON THE COMPLEX PLANE

Vladimir V. Kassandrov, Ahmed H. Marhiev

Институт гравитации и космологии РУДН, Москва, Россия

e-mail: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.

Abstract. On the C-plane, we consider the dynamics of N roots of an arbitrary complex N -degree polynomial, with coefficients polynomially dependent on time. The roots represent a set of identical paticle-like point objects, and their dynamics, generally, obeys the conservation laws for the total momentum and the analogue of total energy. The extended set of N² roots-particles that arises under «bicomplexification» of the polynomial is also conservative and, apart of the initial complex dynamics, the total angular momentum is generally conserved. The two arising sybsets exchange energy and angular momentum whereas the momentum is preserved for both sybsets separately. Additional conserved quantities are discovered.

Введение. Доклад развивает концепцию единой Мировой линии (ЕМЛ) Штюкельберга-Уилера-Фейнмана [1,2] и конструкцию ансамбля тождественных точечных частиц на ЕМЛ, предложенную в предшествующих работах [3,4]. Такая конструкция основана на неявном задании МЛ через систему алгебраических уравнений, включающую параметр времени t . В наиболее интересном случае (невырожденной, общего вида) полиномиальной системы (для простоты двух) уравнений

(1)

корни системы при каждом t определяют положения соответствующего числа тождественных частицеподобных образований – «предэлементов» материи. При возрастании t имеем самосогласованную (2D, плоскую) динамику этих точечных объектов, локализованных либо на одной из (несвязных) ветвей траектории (вещественные корни и отвечающие им т.н. R-частицы), определяемой (1), либо между ветвями (комплексно-сопряженные пары корней, визуализированные по общей действительной части) – т.н. С-частицы [3,4]. В некоторые моменты времени пара R-частиц «сливается», превращаясь затем в композитную C-частицу, либо имеет место обратный процесс. Такие «события» могут служить моделью процессов аннигиляции/рождения пары.

В работе [4] было показано, что формулы Виета для сумм корней произвольной системы (1) либо их квадратов приводят к SO(2) -инвариантным законам сохранения для характеристик RC- системы корней-частиц, близким по структуре к законам сохранения в классической механике Ньютона. А именно, исключая (с помощью т.н. «метода результантов») последовательно одну из неизвестных из системы (1), приходим к двум полиномиальным уравнениям степени N=nm ,

  (2)

где, в ситуации общего вида, старшие коэффициенты a₀ , b₀  -- ненулевые константы, a₁(t), b₁(t)  зависят от t линейно, a₂(t), b₂(t)  – квадратично, и т.д. Из (2) сразу следует, что система (1) имеет ровно N=mn корней-частиц (R- либо C-). Их координаты связаны формулами Виета, из которых линейные и квадратичные по корням имеют известный вид:

(3)

. (4) Дифференцируя теперь один раз по времени (3) и 2 раза – (4), приходим к законам сохранения проекций импульса

  (5)

(в предположении о равенстве масс всех частиц-корней), a также SO(2) -инвариантной величины

  (6)

близкой к известному в механике «полному вириалу» и являющейся в рассматриваемом подходе аналогом полной энергии RC-системы. Отметим, что закон сохранения полного момента импульса (лишь одна из компонент которого отлична от нуля в рассматриваемом 2D случае) также имеет место для полиномиальных систем общего вида. Т.о., коллективная динамика двух типов (R- и C-) корней-частиц на ЕМЛ полиномиального вида (1) включает их взаимопревращения и, как правило, оказывается консервативной. Релятивистское обобщение такого «алгебродинамического» подхода рассмотрено в [5].

Комплексная динамика. Пусть теперь система двух полиномиальных уравнений (1), в случае m=n=N² ,допускает комплексную структуру. Это означает, что она может быть получена в результате выделения вещественной и мнимой частей из единого уравнения

, (7)

где z = x + Iy  , а коэффициенты при zпроизводящего полинома степени N , как и прежде, зависят от времени полиномиально. В этом случае имеем, во первых, набор N вещественных корней-частиц {x_k(t), y_k(t)} системы (1), «унаследованных» от корней полинома P_N , и, во-вторых, другую подсистему (N²–N )комплексных корней, не связанных непосредственно с производящей структурой (7).

В качестве поясняющего примера приведем простую систему двух уравнений типа (1)

(8a)

(8б)

Эта система получена в результате разделения вещественной и мнимой частей из одного комплексного полиномиального уравнения

, (9)

и при любом t имеет 3x3=9 корней, из которых три корня наследуются из производящей структуры (9) и всегда (в отношении координат x и y ) являются вещественными, а 6 оставшихся образуют 3 комплексно-сопряженные пары.

Расписывая соответствующие формулы Виета для уравнения (7) и, с другой стороны, для результантов «бикомплексифицированной» полной системы типа (1), приходим к следующим выводам:

1. Закон сохранения импульса имеет место не только для полной системы N² корней (1), но и по отдельности для каждой из двух вышеопределенных подсистем.

2. Закон сохранения (проекции) момента импульса не выполняется ни для подсистемы N корней, унаследованных из (7), ни для другой подсистемы, а лишь для полной системы N² корней основной системы (1). Заметим, что в первой подсистеме выражение для этой проекции имеет вид  , где (*) означает комплексное сопряжение.

3. Закон сохранения полного вириала (энергии), разумеется, справедлив как для N корней первой подсистемы, так и для полной системы N² корней, однако выражения в этих двух случаях оказываются различными. А именно, для первой подсистемы, индуцированной (7), на самом деле имеем два закона сохранения, определяемых вещественной и мнимой частями выражения:

(10)

(ср. с выражением типа (6) для полной системы N² корней). Т.о., в первой подсистеме имеют место законы сохранения, не выполняющиеся во второй! При этом в полной системе сохраняется инвариантная величина (6), отличная по структуре от (10).

Обратим внимание, что (N²–N ) корней второй, дополнительной подсистемы сами оказываются уже комплексно сопряженными, так что соответствующие частицы-точки принадлежат уже не самой комплексной плоскости, а ее «комплексному» расширению (а именно, 4-мерному бикомплексному пространству). Тем не менее, эти объекты могут быть спроектированы на комплексную плоскость с соответствии с общей для каждой пары вещественной частью (как это имеет место и в общем случае C-частиц, см. выше).

В отличие от описанного вначале общего случая RC-динамики, для полиномиальных систем, допускающих комплексную структуру (7), число частиц каждого вида (R- и C- по отдельности), не меняется со временем: «события», определяемые появлением пары кратных корней, не приводят к последующему изменению типа корней-частиц. Иначе говоря, контактное взаимодействие между частицами различных типов отсутствует.

Заключительные замечания. Интересно заметить, что связь корней произвольного комплексного полинома с механикой (в статическом случае) была замечена К.Ф. Гауссом еще в 1836 году [6]. А именно, рассматривались корни {z_k}  комплексного многочлена общего вида (интерпретируемые как N точечных источников на C-плоскости), и производного от него многочлена – (N-1) «пробная частица». Используя разложение Безу и вычисляя отношение ( ), легко видеть, что в точках z = w, совпадающих с положением одной из «пробных частиц», имеет место равенство:

. (11)

Если интерпретировать величины F_x, F_y как проекции результирующей силы, действующей со стороны частиц-источников, то любая из «пробных» частиц находится в поле этих сил в равновесии. Из (11) следует, что такое поле является радиальным, и каждая из парциальных сил убывает как (1/r ), т.е. обратно пропорционально первой степени расстояния от источника до «пробной» частицы. Таким образом, алгебраически обусловленные условия равновесия позволяют определить конкретный вид взаимодействия между «частицами-источниками» и «пробными» частицами.

К сожалению, конструкция Гаусса не обобщается напрямую ни на нестационарный, ни на 3D случаи (последнее связано с отсутствием ассоциативно/коммутативной алгебры с положительной нормой в 3-мерном пространстве).

Возвращаясь к вышерассмотренной конструкции, подчеркнем, что наиболее интересным с физической точки зрения ее аспектом является естественное возникновение двух «полузамкнутых» подсистем частиц, обменивающимся моментом импульса и (аналогом) механической энергии, но изолированным в отношении импульса. Отметим, что при очень большой степени N генерирующего полинома (7) число частиц в первой из подсистем (N ) чрезвычайно мало по сравнению со второй (N² ). Хотя отождествление подобных свойств со свойствами реальных классов частиц, разумеется, преждевременно, само их возникновение в рассмотренной «игрушечной» модели позволяет надеяться на возможность объяснения реалистической физики частиц на основе последовательного алгебродинамического подхода.

ЛИТЕРАТУРА

1. Stueckelberg E.C.G. // Helv. Phys. Acta – 1941 – Vol.14 – Pp. 588-594

2. Фейнман Р.Ф. // УФН – 1967 – Т. 91 -- С. 29-48

3. Kassandrov V.V., Khasanov I.Sh. // J. Phys. A: Math. Theor.—2013 –Vol.46 – 175206

4. Kassandrov V.V., Khasanov I.Sh., Markova N.V. // Вестник РУДН: Мат.Инф.Физ. – 2014 – Т.2 – С. 169-180

5. Kassandrov V.V., Khasanov I.Sh., Markova N.V. // J. Phys. A: Math. Theor.—2013—Vol.48 – 395204

6. См. Прасолов В.В. Многочлены. – М., МЦНМО – 2001. – С. 21