ПРЕДИСЛОВИЕ – / 3 /

Раздел 1. ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА КАК СРЕДА ОБИТАНИЯ ЗАКОНОВ ФИЗИКИ – / 5 /

Раздел 2 . ГЕОМЕТРИЗАЦИЯ НЕНАБЛЮДАЕМЫХ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МЕХАНИКИ – / 107 /

В предлагаемой монографии представлены результаты многолетнего изучения и исследования автором одной из областей фундаментальной математики – множества ассоциативных алгебр гиперкомплексных чисел, главным образом кватернионов и бикватернионов.

Поскольку автор по своей основной специальности является физиком-теоретиком, от его внимания не ускользнуло следующее удивительное обстоятельство. Многие характерные для этой «гиперкомплексной среды» формулы – чисто математические соотношения – оказались весьма похожими на формулы известных физических законов, ранее записанных по результатам анализа многих экспериментов (эмпирическая природа), либо как следствие глубокого осмысления известных, но необъясненных физических фактов и последующего «гениального озарения» (эвристическая природа).

Конечно, в математическом – безразмерном – формате сходство этих соотношений сводится лишь к внешним признакам – это просто одинаковые алгебраические и дифференциальные уравнения или их системы. Однако введение естественных физических единиц и масштабов превращает эти соотношения в точные или «чуть подправленные» законы физики: квантовой, классической и релятивистской механики, теории относительности, теории векторных калибровочных полей.

Замечательная особенность такого подхода к выводу известных уравнений состоит в том, что он не требует использования вариационной процедуры и искусственного построения лагранжианов и функционалов действия, поскольку, как отмечено выше, эти эмпирические и эвристические соотношения являются естественными атрибутами «гиперкомплексной среды», своим существованием определяя специфику ее свойств.

Факт наличия целой серии «бесспорно физических» уравнений в чистой математике сам по себе представляется значащим и заслуживающим пристального внимания. В привлечении внимания и, возможно, в мотивации к новому осмыслению законов природы и состоит первая цель данной монографии.

Вторая цель – дать представление об иных вариантах получения информации о физическом строении мира, следовательно, о других – не только исторически сложившихся – методах изложения физических теорий, тем более что в методах, привлекающих гиперкомплексные числа, имманентно заложена возможность геометризации и визуализации объектов, традиционно считавшихся в физике абстрактными.

Наконец, есть и третья цель: попытаться использовать чистую математику для «улучшения» собственно законов физики, ибо, как показано в тексте книги, «математические законы физики» не всегда точно соответствуют известным «физическим законам», что может дать ориентиры для новых исследований.

Монография содержит два раздела. Первый раздел включает математические и физико-теоретические исследования; здесь достаточно подробно рассмотрена собственно «гиперкомплексная среда», в которой отслежены формулы законов из различных областей физики. Второй раздел – скорее, философский, в нем обсуждаются проблемы геометризации физики и факт существования фрактального пространства; здесь также детально изложена логическая цепочка превращения базовых соотношений, характерных для фрактальной поверхности, в уравнения «общей теории механики», включающей все традиционные разделы.

Основные результаты, приведенные в данной книге, опубликованы в серии статей в период 1983–2014 гг.

Цель первого раздела – в сжатой форме представить результаты более чем 30-летней работы автора по изучению математики гиперкомплексных чисел и их взаимосвязи с формулировкой физических законов. При этом имеется в виду отнюдь не методическая процедура записи известных законов в новом формате, а поиск и анализ таких имманентно присущих данной математической среде соотношений, которые встречаются в физической науке в виде эмпирических или эвристических формулировок или имеют сходные с ними черты.

Выделенной в этом смысле оказывается математика кватернионов, удовлетворяющих соотношениям последней по размерности ассоциативной – но уже некоммутативной – алгебре с делением. Исследования показали удивительное сходство целого ряда формул этой математики с известными «точными» («нестатистическими») законами физики. Возможной причиной этого, вероятно, является почти сверхъестественная «геометричность» кватернионной математики. Детальный анализ показал, что эта математика естественным образом несет в себе не только привычные черты трехмерного физического мира, но, как представляется, и «более фундаментальных», «догеометрических» структур, которые также допускают визуальное представление, облегчая тем самым восприятие и понимание таких абстрактных разделов физики, как аналитическая и квантовая механика.

Более того, наличие точных математических соотношений, имеющих внятный геометрический смысл, дает (с известной степенью успеха) шанс вносить коррекцию в формулировки соотношений физики и выстраивать соответствующие модели, в том числе, отличные от традиционных.

Работа организована следующим образом. Глава 1 посвящена краткому описанию систем гиперкомплексных чисел. В частности, в параграфе 1 приведены основные соотношения и описаны специфические черты кватернионной математики. В параграфе 2 с достаточной детализацией представлена процедура введения фундаментальной предгеометрической (фрактальной) поверхности, единственный локальный базис которой (диада) служит основой для определения единиц всех ассоциативных алгебр. В параграфе 3 даны общие сведения о трехмерной дифференциальной геометрии кватернионных пространств. В главе 2 рассматривается связь соотношений математики гиперкомплексных чисел и формул, описывающих физические закономерности. В параграфе 4 показано, что требование стабильности базисов (единиц) ассоциативных алгебр эквивалентно, в зависимости от масштаба, уравнению квантовой или классической механики. В параграфе 5, на базе группы комплексного вращения, изоморфной группе Лоренца и сохраняющей правило кватернионного умножения, сформулирована векторная версия теории относительности. В параграфе 6 продемонстрировано, что соотношения, характерные для «калибровочных» полей – электромагнитного поля и поля Янга–Миллса, обнаруживаются в теории функций кватернионного переменного и геометрии кватернионных пространств. Итоги работы подводятся в заключении к данному разделу.