|
Внутреннее время числа и принцип неопределенности Внутреннее время числа и принцип неопределенностиАннотация:- Как известно, натуральное число n является единством количества и порядка n = ánR , nZñ. Современная математика явно или неявно отдает предпочтение количественному аспекту, считая, что n = nR. Наиболее значимым следствием количественной точки зрения является теоретико-множественная концепция, которая в наибольшей степени ответствена за доминирование этой идеи в математике. Количественный аспект числа традиционно ассоциируется с пространством, тогда как порядковый аспект считается проявлением времени. В этом плане теорию множеств можно рассматривать как «пространственную» теорию.
- Постулат двойственности [1] восстанавливает принципиальное (и естественное) различие между количеством и порядком, между пространством и временем. С точки зрения этого постулата, число n – это пара n = ánR , nZñ с двумя различными по природе компонентами nR и nZ. На основе постулата двойственности можно развить формализм бесконечного и получить другие результаты [1]. Приведенные ниже эвристические рассуждения, навеянные этим постулатом, позволяют, как нам представляется, увидеть глубокую связь идеи времени и принципа неопределенности.
- В русле «двойственной интуиции» рассмотрим хорошо известную аксиому, устанавливающую взаимно-однозначное соответствие между точками прямой и действительными числами, выражающими координаты этих точек. При всей привычности такого соответствия нельзя не отметить, что в нем участвуют объекты существенно различной природы. Точка или отрезок прямой – это целостные геометрические объекты, действительное число – бесконечная десятичная непериодическая дробь, которая в общем случае дана нам только потенциально. Это значит, что в числе присутствует некий параметр, который условно можно назвать «внутренним временем числа» и который не имеет геометрического аналога.
- Будем условно обозначать этот параметр через →X , где Х – действительное число. Как по-казал Дж. Конвей [2], используя простейшую структурную организацию этого параметра («шаг вперед», «шаг назад»), можно построить модель, включающую все действительные числа, а также инфинитные и инфинитоземальные величи-ны. Таким образом, действительное число Х также является двойственным: Х = á длина отрезка [0,X]; →X ñ.
- Рассмотрим в этом контексте проблему измерений. В традиционным понимании измерение данной величины – это ее соотнесение с эталоном, результат которого выражается действительным числом. Двойственность действительного числа вносит двойственность и в понимание измерения. В первом случае мы, образно говоря, прикладываем «линейку» и с определенной точностью (зависящей от «линейки») измеряем отрезок [0,X]. Во втором случае мы «запускаем внутреннее время» числа Х: →X и получаем сколь угодно точное его приближение.
- Будем измерять две величины А и В, которые в результате дают действительные числа Х и Y. Если величины А и В таковы, что при любых измерениях внутреннее время числа Х: →X течет независимо от внутреннего времени числа Y: → Y, то, очевидно, что величины А и В можно измерить одновременно со сколь угодно высокой точностью. Однако, между внутренним временем →X и внутреннем временем →Y может существовать определенная связь. В этом случае одновременное, сколь угодно точное вычисление значений величин А и В может оказаться невозможным. Наиболее простой вид связи заключается в том, что внутренне время чисел Х и Y едино, т.е. существует параметр →Z = →X …→Y, где многоточие означает «прыжок» от → X к → Y. Если расписать →X и →Y по шагам, например, в стиле Конвея, то существование →Z означает, что с n-ого шага времени →X мы можем перейти только к n+1 шагу времени →Y. В этом случае мы получаем неопределенность гейзенберговского типа, т.е. при полной определенности Х имеет место полная неопределенность Y и наоборот.
- Рассмотренную «игрушечную» неопределенность можно сделать реальной квантовомеханической неопределенностью если: а) осмыслить в духе порядковой бесконечности переход от →X к →Y; б) привести аргументы в пользу соответствия: q – «→X»; p – «→ Y» . Основные конструкции к этим пунктам приведены в [1]. (1. С.А.Векшенов. Математика и физика пространственно-временного континуума // Основания геометрии и физики. М., 2008. 2. J.Conway. On numbers аnd games. London, 2001.)
|
