Проблема «осознания знания» всегда стояла перед наукой «переднего края», которая добывает совершенно новое, непривычное, но всё же обоснованное знание. При этом фундаментальное знание со временем стремится претендовать на общепринятую парадигму. Заглянуть в будущее стремится любой ученый и всякий мыслящий человек. Попробуем сделать это и мы. Но будущее – это часто хорошо забытое прошлое. Какие идеи относительно представлений рационального и иррационального числа, а также относительно потенциальной и актуальной бесконечности высказывались классиками математической науки?

Различия в представлении рационального и иррационального числа

Мы полагаем, что следует различать понятие: «представление числа бесконечной десятичной дробью» и понятие: «запись числа». Действительное число может быть записано различным образом, (т.е. обыкновенной и десятичной дробью, целым числом и т.д.), но представлено с помощью бесконечной десятичной дроби всякое число должно бытьединственнымобразом. Известно, что действительные числа могут быть либо рациональными, либо иррациональными. Каким образом великие математики Г.Кантор и К. Вейерштрасса представляли характерное различие в представлении рационального и иррационального числа?

Г. Кантор построил действительные числа исходя из рациональных чисел. Он допустил, чтовсякое иррациональное число может быть представлено бесконечной последовательностью рациональных чисел. Например, число π можно представить бесконечной последовательностью рациональных чисел 3; 3,1; 3,14; 3,141; … . Популяризатор науки А.В. Жуков сравнивает постижение счетного множества знаков числа π с процессом бесконечного приближения к пределу. С каждым новым шагом мы всё ближе и ближе к заветной цели, однако, вожделенный предел по-прежнему продолжает оставаться от нас на расстоянии бесконечного множества шагов. Как мы полагаем, в данном случае предел – это актуальная бесконечность знаков числа π, процесс постижения которых потенциально бесконечен.

Известно, что К. Вейерштрасса составил агрегаты с бесконечным числом элементов и ввёл для них отношения равенства. Согласно Вейерштрассу, действительное число — это класс эквивалентности агрегатов, удовлетворяющих следующему условию конечности:всякое рациональное число, представляется «агрегатом»–конечным множеством единиц. Так, {1/4, 1/4, 1/4, 1/4} является представлением числа 1; {1/7, 1/7} = 2/7 и т.п. Подробнее об этом и об истории создания теории чисел можно узнать из обстоятельной работы Г.И. Синкевич [17, с.221-232]. Можно увидеть, что великие математики, по существу, не отрицали представление рациональных чисел конечными математическими структурами, а иррациональных – бесконечными. Мы полагаем, что всё же современное научное сообщество не вполне отчетливо осознает философскую природу двух фундаментальных понятий: число и бесконечность и в этом заключается психологическая проблема восприятия людьми столь абстрактных категорий.

Бесконечность актуальная и потенциальная

Идея актуально бесконечно малого (большого) долго не признавалась, на том основании, что до создания нестандартного математического анализа А. Робинсоном в 1960 году не умели такое малое исчислить. А. Пуанкаре был непреклонен: «Нет актуальной бесконечности. Канторианцы забыли это и впали в противоречие. … Можно ли рассуждать об объектах, которые не могут быть определены конечным числом слов? Можно ли даже говорить о них, зная, о чем говорят, и, произнося нечто иное, чем пустые слова?» [14, с. 517, 600].

Позже М. Клайн писал: «Начиная с Аристотеля математики проводили различие междуактуальной бесконечностьюобъектов ипотенциальной бесконечностью.Чтобы пояснить эти понятия, рассмотрим возраст Вселенной. Если предположить, что Вселенная возникла в какой-то момент времени в далеком прошлом и будет существовать вечно, то её возраст потенциально бесконечен: в любой момент времени возраст Вселенной конечен, но он продолжает возрастать и, в конце концов, превзойдет любое число лет. Множество (положительных) целых чисел также потенциально бесконечно: оборвав счет, например, на миллионе, мы всегда можем затем прибавить к нему 1, 2 и т.д. Но если Вселенная существовала в прошломвсегда,то её возраст в любой момент времени актуально бесконечен. Аналогично множество целых чисел, рассматриваемое в «готовом виде» как существующая совокупность, актуально бесконечно» [8, с.231]. Мы полагаем, чтовозраст Вселенной, действительно, в каждый момент времени актуально бесконечен, но увеличиваться он будет потенциально бесконечно.Но как же случилось, что понятия актуальная и потенциальная бесконечность, в настоящее время, часто не различаются учеными?

В современной науке в аксиоматике Цермело – Френкеля присутствует аксиома бесконечности, которая утверждает: существует бесконечное множество. Аксиома выбора позволяет выбрать по одному элементу из всех подмножеств бесконечного множества одновременно, а не по очереди, определённо предполагаясостоявшуюся, актуальнуюбесконечность[2, с. 42-57]. При этом ключевым словом в аксиоме бесконечности является слово «существует». В. Босс ставит вопрос следующим образом. «В каком смысле существует натуральный ряд N? Как разворачивающийся процесс или как завершившийся? Числа из N потенциально можно построить или они уже есть в наличии?» [2, с.36].

Но ведь натуральный ряд может существовать в обоих этих смыслах, т.е. потенциально и актуально и не обязательно как процесс! Интересно, что А.С. Есенин-Вольпин показывает связь принципа единственности натурального ряда с гипотезой о его актуальной завершенности [5]. Действительно:натуральный ряд завершен актуально, не имея последнего элемента, при том, что этот ряд потенциально бесконечно расширяем нами в процессе его познания.

Но каково принципиальное отличие потенциальной бесконечности от бесконечности актуальной? Это отличие заключается в свойстве актуально бесконечного множества быть равномощным своей правильной части. Часть потенциально бесконечного множества не равномощна целому. При этоммощность потенциально бесконечного множества с увеличением числа его элементов обязательно увеличивается, а мощность актуально бесконечного множества с увеличением числа его элементов остается неизменной. 

Таким образом, если мы будем рассматривать бесконечность в потенции и как процесс, например, как процесс подсчета множества возрастающих натуральных чисел 1, 2, 3, …, то вместе с каждым числомn,мы можем взять большее (n+1). Если же мы рассматриваем множество всех натуральных чисел, взятых разомN= {1, 2, 3, …}, то тогда мы имеем счетную актуальную бесконечность чисел. Но если мы рассмотрим множество точек на числовой прямой, то будем иметь несчетную актуальную бесконечность точек, т.к. эту бесконечность невозможно привести во взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел. Отметим также, что бесконечно удалённая точка, линия или плоскость – это необходимые математике геометрические объекты, в самых разных теориях представляющие именно актуальнуюбесконечность.

Однако математики часто затрудняются на конкретных структурах различить потенциальную и актуальную бесконечность, что является отчасти психологической проблемой.

Известно, что философски понятие «актуальная бесконечность» трактуется в настоящее время как завершенная бесконечная совокупность объектов независимо от процесса построения этих объектов. «Против понятия актуальной бесконечности выдвигается то возражение, что завершенная, осуществившаяся бесконечная величина тем самым превращается в конечную и уже не может считаться бесконечной» [10, с. 25-26]. Однако аналогичная критика актуальной бесконечности не способна абстрагироваться от процесса построения множества, т.е. фактически – от процесса индуктивного познания, как, якобы, единственно возможного.

К подобной критике актуальной бесконечности возникает резонный вопрос: противоречиво ли понятие потенциальной (неистинной) бесконечности в смысле нарушения им закона исключенного третьего применительно к понятиям «конечное – бесконечное»? Ответ очевиден: да, противоречиво именно в этом смысле. Ведь,потенциально бесконечное (по Г. Кантору), которое никогда не превращается в актуальность – парадоксально называется бесконечным(?).Но тогда очевиден и ответ на вопрос: непротиворечиво ли в этом же смысле понятие актуальной (истинной) бесконечности? Конечно да, актуально бесконечное непротиворечиво с позиций двузначной логики именно в смысле однозначности самого понятия «бесконечное». Ведь, непротиворечиво даже несчетное актуально бесконечное множество чисел, заключенных на отрезке между 0 и 1, хотя оно, это множество имеет «начало» (наименьшее число–0) и «конец» (наибольшее число–1).

Как уже отмечалось, в противоположность актуальной бесконечности потенциальная бесконечность философски понимается как незавершенная бесконечность объектов исходя из процесса построения этих объектов, т.е. «как процесс, у которого нет последнего шага». При этом часто потенциальная бесконечность понимается как единственно существующая. Например, немецкий математик и логик Г. Генцен писал: «Бесконечную совокупность нельзя рассматривать, как нечто законченное, данное само по себе (актуальная бесконечность), а можно рассматривать как нечто становящееся, нечто такое, что можно все дальше и дальше надстраивать над конечным (потенциальная бесконечность) [10, с. 463-464].

А. Н. Колмогоров в своей авторской статье в словаре отмечал, что «представление о бесконечно малых и бесконечно больших переменных величинах является одним из основных в математическом анализе». Как полагают в настоящее время многие ученые и как полагал Колмогоров «реальный смысл имеет только разложение конечных величин на неограниченно возрастающее число неограниченно убывающих слагаемых», т.е., собственно, потенциальная бесконечность. Тем не менее, Колмогоров честно констатирует: «Выяснение вопроса о том, в какой мере и при каких условиях при изучении бесконечных множеств законно такое абстрагирование от процесса их образования, еще нельзя считать законченным» [11, с. 92-93].

Современный крупный философ математики В.В. Катасонов пишет – Г.Кантор справедливо отмечал, что в некотором смысле, данность нам актуальной бесконечности несомненна. Если мы признаем существование потенциальной бесконечности, то ведь ей нужно где-то «разворачиваться», нужно иметь некоторое «пространство», некоторую «область» становления. Но сама эта «область» не может быть опять – таки чем-то переменным, ибо в противном случае наше исследование не имело бы под собой никакой прочной основы. Следовательно, эта «область» представляет собой некоторое определенное актуально бесконечное множество значений [7, c.36].

Очень тонкое замечание высказал в статье: “Бесконечность, всеведение, теоремы Гёделя о неполноте” А. В. Чагров: “Образно выражаясь, формула, описывающая доказуемость в данной теории, актуализирует потенциально бесконечное множество всех доказуемых в данной аксиоматизации формул; именно это имеется в виду в заголовке в слове всеведение: прежде, чем говорить об одном свойстве доказуемости в данной аксиоматической системе, мы должны знать в той или иной форме все доказуемые формулы. Таким образом, если мы признаём лишь потенциально бесконечные множества, то вряд ли следует признавать доказательства теорем Гёделя о неполноте абсолютно безупречными” [19, с. 206-209]. Вот как–теоремы Гёделя о неполноте, оказывается, изначально имеют в своём основании неявную аксиому о существовании актуальной бесконечности!

Мы со своей стороны также напомним, что Г. Кантор разделял потенциальную и актуальную бесконечности. Актуально бесконечным Кантор называет «такое количество, которое, с одной стороны, не изменчиво, но определенно и неизменно во всех своих частях и представляет истинную постоянную величину, а с другой в то же время превосходит по своей величине всякую конечную величину того же вида». Согласно определению Кантора, потенциально бесконечное «означает переменную конечную величину, растущую сверх всяких конечных границ». Потенциально бесконечное Кантор справедливо называет «несобственно-бесконечным». Кантор подразделяет также математическую и нематематическую актуальную бесконечность, он пишет следующее. «Часто происходит смешение … двух форм актуально бесконечного,причем смешивается трансфинитное с абсолютным. Между тем эти понятия явно различны в том отношении, что первое следует мыслить, конечно, бесконечным, но все же доступным дальнейшему увеличению, тогда как последнее приходится считать недоступным увеличению, а потому математически неопределимым». [6, с. 262-268]. Под «доступным увеличению трансфинитным», Г.Кантор определённо подразумевает здесь бесконечную шкалу мощностей (кардинальных чисел) несчетных множеств.

Продолжая начатый анализ понятия бесконечности по Г.Кантору, мы можем констатировать следующее. Актуально бесконечное: а) не может быть переменной величиной; б) замкнуто в себе, т.е. не определяется заданными условиями; в) трансфинитное актуально бесконечное может быть доступно увеличению; г) не принимает полностью определенного значения, но не противоречиво однозначностью «собственно бесконечного». Потенциально бесконечное по Г.Кантору: а) может быть переменной величиной; б) не замкнуто в себе, т.е. определяется заданными условиями; в) принимает полностью определенные значения; г) внутренне противоречиво противоречивостью «не собственно-бесконечного». Тем не менее, далеко не все ученые различают потенциальную и актуальную бесконечность, некоторые отрицают какую-либо из них или возможность их познания.

Крупный философ математики В.А. Светлов отмечает следующее очень существенное обстоятельство: «…потенциальная бесконечность противопоставляется актуальной в качестве истинной только потому, что она, как объяснял ещё Кантор, и не покидает пределы конечного, т.е., по сути, и не является бесконечностью. Таким образом, реальная проблема, лежащая в основе споров о законности актуальной бесконечности, заключается в том, что до сих пор отсутствует общепринятое и удовлетворительное объяснение связи конечного и бесконечного» [15, с. 35-36]. Вариант гипотезы связи конечных величин и счетных множеств, предложен нами несколько ниже.

Объектом исследования в статье Л.Б. Султановой является математическое представление об актуальной бесконечности [18, с.88-94]. Как отмечает автор этой работы, вопрос представлений об актуальной бесконечности активно обсуждается в научном сообществе со времени создания программ обоснования математики в первой половине двадцатого века, но уже Лейбниц характеризовал бесконечность как «лабиринт мышления». В двадцатом веке немецкий математик Г. Вейль высказал мысль о том, чтокрушение программ обоснования математики вызвано в основном «смешением» представлений об актуальной и потенциальной бесконечности в мышлении математиков. И здесь, по мнению автора настоящей работы, мы сталкиваемся с психологической проблемой, когда парадигмальность мышления ученых не позволяет различать объективную реальность.

В работе Л.Б. Султановой также делаются следующие выводы. «Интересно то, что сами математики не могли осознать этот факт (смешения понятий актуальной и потенциальной бесконечности – М.Г-Л.) на протяжении нескольких десятилетий. Констатирует факт «смешения» в мышлении математиков представлений об актуальной и потенциальной бесконечности только Вейль, однако этим он и ограничивается. В дальнейшем, в общем-то, никто из математиков не стремился разобраться в точке зрения Вейля, подтвердить её или опровергнуть… бесконечность представляет собой подлинный «лабиринт мышления», когда субъект познания далеко не всегда способен осознавать, с какой же бесконечностью – актуальной или потенциальной – он реально в данный момент имеет дело. И этот «лабиринт мышления» последовательно и неуклонно выстраивается в рамках математического познания, при стремлении математиков как можно более строго обосновать свою науку. К сожалению, даже сегодня мы не знаем, как «выбраться» из этого лабиринта».

Заметим, по существу, в отношении высказанного Л.Б. Султановой суждения следующее мнение, которое, как нам представляется, проливает свет на так называемый «лабиринт мышления». Человеческое познание конечно или потенциально бесконечно, а знание актуально бесконечно качественно и количественно. При этоммы не знаем (и никогда не узнаем) последнего знака непериодической дроби, которого не существует, номы знаем последний знак периода дроби периодической.Периоды дроби качественно неразличимы между собой в отличие от различимости знаков дроби непериодической. Так как количественной бесконечности не существует без качественной, то истинная количественная бесконечность периодов дроби невозможна в силу качественной однородности самого периода. Это дает нам возможность различить актуальную и потенциальную бесконечность на примере периодических и непериодических дробей, что позволяет решить фундаментальную математическую проблему.

Положения гипотезы связи бесконечных величин и счетных множеств

Рассмотрим ранее предложенную нами гипотезу, которая может пролить свет на вполне возможную будущую парадигму в основании математики.

1.Множество знаков после запятой в десятичной непериодической дроби актуально (собственно) бесконечно потому, что в иррациональном числе актуально не существует последнего знака, а само иррациональное число невозможно представить в виде конечной цепной дроби.

2.Исключительно разность между действительным числомxи гипердействительным числомx+α, а также между отдельными бесконечно близкими гипердействительными числами является актуально бесконечно малой постоянной величинойαв смысле нестандартного анализа потому, что разность между действительными числами не может быть актуально бесконечно малой.

3.Разность между числами 0, (9) и 1, а также между другими сколь угодно близкими рациональными числами имеет значение потенциально бесконечно малой переменной величины в смысле классического анализа потому, что между двумя действительными числами всегда существуют другие действительные числа, а не исключительно актуально бесконечно малые величины.

4.Множество знаков после запятой в десятичной периодической дроби потенциально (не собственно) бесконечно потому, что в случае актуальной бесконечности этого множества: а) между двумя сколь угодно близкими рациональными числами не существовало бы других действительных чисел, которые, в свою очередь, не могут быть актуально бесконечно малыми; б) периодическую дробь было бы недопустимо представить в виде конечной цепной дроби [4, с. 113-115].

Примем следующие рабочие определения.Конечноемножество– это множество, количество элементов которого конечно, то есть, существует неотрицательное целое число k, равное количеству элементов этого множества. Множество называетсяпотенциально бесконечным,если: а) оно равномощно неопределенно большому конечному множеству; б) не существует неотрицательного целого числа k, равного количеству элементов этого множества; в) его правильная часть неэквивалентна целому.Актуально бесконечноесчетное множество определим как равномощное всему натуральному ряду, а правильная часть этого множества эквивалентна целому.

Существует две, необходимые нам фундаментальные аксиомы теории множеств. Первая аксиома: числовая прямая континуальна. Вторая аксиома: каждое число представлено единственной точкой на числовой прямой. Наши утверждения в целом сводятся к следующим тезисам.

1) В случае актуальной бесконечности множества знаков всякой периодической дроби между числами 0, (9) и 1, (0) на числовой прямой не существовало бы других действительных чисел – это противоречит первой аксиоме.

2) В случае справедливости равенства чисел: 0, (9) = 1, (0) на числовой прямой, эти два числа следовали бы непосредственно друг за другом или представляли бы собой одно и тоже число – эти допущения противоречат обеим аксиомам.

3) В случае потенциальной бесконечности множества знаков всякой непериодической дроби, включая число: 3,14… это число не было бы представлено единственной точкой на числовой прямой – это противоречит второй аксиоме. Ведь в этом случае непериодическая дробь имела бы переменное количественно и неопределенное качественно множество знаков, а соответственно, не имела бы, условно выражаясь – «постоянного места» на числовой прямой.

4) Всё вышеперечисленное означает, что периодическая дробь потенциально бесконечна, а непериодическая – актуально бесконечна.

Предварительно рассмотрев несколько фундаментальных проблем, мы можем сформулировать основы будущей согласованной метатеоретической парадигмы в основании науки.

Будущая парадигма в основании математики

1) В соответствии с аксиоматикой теории множеств каждое число в т.ч. число 0,999… представлено единственной точкой числовой прямой, отличной от точки, которая представляет число 1. 

Имеется биекция: а) между множеством, представляющим бесконечной десятичной дробью число 1 и потенциально бесконечным множеством натуральных чисел; б) между множеством, представляющим бесконечной десятичной дробью число 0, (9) и потенциально бесконечным множеством знаков дроби 1, (0).

Тем не менее, в настоящее время, произвольно постулируется равенство 0, (9) = 1. Возникает естественный вопрос о справедливости этого равенства c точки зрения оснований математики [3, с.221-232]. Существует следующая проблема: «Если исключить из рассмотрения бесконечные периодические десятичные дроби с периодами, состоящими только из одних девяток, то всякое действительное число будет записываться в виде бесконечной десятичной дроби однозначным образом» [11, с. 176-177]. То есть, например, на отрезке [0;1] все действительные числа, кроме 1 записываются однозначным образом в форме бесконечной десятичной дроби, но только исключительно число 1 противоречиво допускается записать и как 1, (0) и как 0, (9), т.е. неоднозначным образом.

В качестве решения обозначенной проблемы, в настоящее время предлагают на основании конвенции принять равенство 0, (9) = 1 с учетом того обстоятельства, что на первый взгляд, в соответствии с формулой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, множество членов которой у числа 0,999… равно их сумме как пределу, т.е. числу один: S = 0, (9) = 0, 9 + 0, 99 + 0, 999… = 1. При этом в настоящее время математики прекрасно осознают, что это равенство нельзя понимать буквально, ведь известно, что ещё Д. Аламбер в 1756 году был убеждён –величина никогда не становится равной своему пределу. Однако сторонники равенства 0, (9) = 1 сознательно или неосознанно упускают из вида решающее обстоятельство: сумму прогрессии (предел) и собственно прогрессию, которая стремится к пределу, разделяет потенциально бесконечно малая величина, называемая бесконечно малой последовательностью.

Собственно следующее строго математическое определение предела числовой последовательности включает эту бесконечно малую величину. «Числоbназываютпределом последовательности (Xn)если(Xn–b)– бесконечно малая последовательность…» [12, с. 49]. Получается, что некритическое допущение равенства 0, (9) = 1 при апелляции к формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии противоречит самим основам математического анализа. К тому же подобный подход игнорирует то, что между числами 0, (9) и 1на числовой прямой находится бесконечное множество действительных чисел и в частности число равное среднему арифметическому значению чисел 0,(9) и 1, т.е.: (0,(9) + 1) / 2.

Иногда предлагают вообще устранить число 0, (9) с числовой прямой на том логическом основании, что «…пробел между 0, (9) и 1, в реальности он просто не может быть больше 0» [20, с. 283-288]. Однако подобное нарушает фундаментальный принцип теории множеств – принцип представительства каждого действительного числа единственной точкой непрерывной числовой прямой.

Существует еще подход – это игнорировать бесконечные десятичные дроби 0, (9) и 1, (0), переведя их в конечные дроби, тем самым закрыв «неудобный» вопрос. В некоторых математических пособиях мы можем прочитать следующее: «Бесконечные десятичные дроби с периодами 0 и 9 обычно не рассматривают, т.к. это обычные (конечные) десятичные дроби», т.е. предполагается: 0,999 . . . = 0, (9) = 1/3*1/3 = 9⁄9 = 1 (?). В итоге постулируется, что 0, (9) – это целое число 1, записанное в форме дроби, т.е. как 9/9 или 1,0.

Но в связи с подобным произвольным допущением, остаётся непонятно: на каком логическом основании некоторые бесконечные десятичные дроби избирательно и безвозвратно превращаются в конечные дроби? Часто из практических соображений у дроби 0,999… действительно произвольно «обрубают бесконечный хвост из девяток», что логически и психологически объяснимо, но с теоретической точки зрения это является совершенно недопустимым.

Когда предлагается принять то, что 0, (9) – это десятичная запись числа 1, как допускается, например, в книге Ю. Ченг то это также, с нашей точки зрения, является попыткой произвольно удалить за пределы числовой прямой «неудобное» число как не имеющее никакого смысла и, якобы, не являющееся настоящим числом [20, с. 283-288].

Один из сторонников дискриминации числа 0, (9) И. Бирман пишет следующее. «Действительно, последовательность 0,9; 0,99; 0,999; и т. д., при стремлении количества девяток к бесконечности, будет стремиться к единице. Но когда девяток станет ровно бесконечное количество — а именно это выражает запись 0, (9), — тогда это число станет ровно единицей. Запись 0, (9) означает не то, что девяток в числе становится «всё больше и больше», а то, что их есть бесконечное количество прямо сейчас.Естественно, что это то же самое число, что и 1» [1]. С нашей точки зрения И. Бирман прав в одном: допущение актуальной бесконечности «девяток» в дроби 0, (9) делает её, эту дробь, равной 1. Однако запись 0, 999… сама по себе отнюдь не означает то, что «девяток» в нейактуальнобесконечное множество. Нам представляется, что единственно допустимо следующее концептуальное решение обозначенной проблемы неоднозначности представления числа 1 двумя бесконечными десятичными дробями.

Известно, что любое действительное число является пределом последовательностей своих десятичных приближений по недостатку и по избытку. Резонно допустить, что пределом последовательности приближения по недостатку числа 0, (9) является само это число, а пределом его последовательности приближений по избытку является число 1, (0). Пределом последовательности приближения по недостатку числа 1 является число 0, (9), а пределом его последовательности приближения по избытку является само это число 1, (0).

Десятичное приближение иррационального числа с помощью периодической дроби может быть также с избытком и с недостатком. В этом случаенеосознаннодопускается, что периодическая дробь, в отличие от непериодической дроби, где-то «потенциально бесконечно далеко» имеет завершение: 0,999…9. Соответственно, разность между числами 0, (9) и 1 стремиться к 0 и является формально потенциально бесконечно малой: 1, (0) – 0, (9) = [0, (0)1] или, что тождественно: 1 – 0, (9) 0.

2) Число 0,999… имеет потенциально бесконечное множество знаков, т.к. в противном случае логически между числом 0, (9) и числом 1, (0) не существовало бы других действительных чисел.

Имеется биекция между множеством знаков числа 0,999… и потенциально бесконечным множеством натуральных чисел, имеющих мощность конечного множества. Важно осознавать, что число 1 записывается неоднозначным образом в виде бесконечных десятичных дробей 0, (9) и 1, (0) только в случае допущения актуальной бесконечности знаков дроби 0, (9) и оно записывается однозначным образом, т.е. как 1, (0) в случае потенциальной бесконечности знаков дроби 0, (9). Разность между числами 0, (9) и 1 имеет значение потенциально бесконечно малой величины в смысле классического математического анализа. Таким образом, логически разрешается так называемый «лабиринт мышления» [18, с.88-94].

3) Число 3,14… в соответствии с теоремой Линдемана – Вейерштрасса имеет актуально бесконечное счетное множество знаков.

Имеется биекция между множеством знаков числа 3, 14… и счетным актуально бесконечным множеством натуральных чисел. В 1882 году фон Линдеман окончательно доказал – последняя цифра числа π не может быть найдена. В этом числе не может быть последней цифры, так как оно есть трансцендентная постоянная величина равная отношению длины окружности к длине ее диаметра. Подобное означало, что задача квадратуры круга неразрешима и никогда не будет найдено способа, чтобы получить точное значение числа π, а, соответственно, получить точное значение любого другого иррационального числа [9, с. 343-352]. Всё это связано с тем, что из теоремы Линдемана – Вейерштрасса легко следует трансцендентность числаπ,что указывает на актуальное отсутствие последнего знака в соответствующей этому числу непериодической дроби.

4) Всякая периодическая дробь имеет потенциально бесконечное множество знаков, а всякая непериодическая дробь имеет актуально бесконечное счетное множество знаков.

Имеется биекция между: а) потенциально бесконечным множеством знаков периодической дроби и потенциально бесконечным множеством натуральных чисел; б) счетным актуально бесконечным множеством знаков непериодической дроби и счетным актуально бесконечным множеством натуральных чисел. Это связано с тем, что мы вполне можем обобщить наш логический анализ множества знаков периодической дроби 0, (9) на все периодические дроби без исключения, а анализ множества знаков непериодической дроби 3,14… на все непериодические дроби без исключения [3, с.221-232].

Будущая парадигма в основании физики

1) Реальное пространство является референтом в бытии числовой прямой действительных чисел. Заполненное реальное пространство математически континуально потому, что движение квантовых частиц исключительно бестраекторно.

Основатели квантовой механики были буквально потрясены фактом того, что микрообъект, в следующий ближайший момент времени, теоретически с некоторой вероятностью может оказаться на краю Метагалактики. К умозаключению о бестраекторности квантовой частицы привели их основы новой науки, в том числе уравнение Шредингера и соотношение неопределённостей Гейзенберга [16, с.40].

2) Прошлое время является референтом в бытии множества рациональных чисел. Только в случае всюду плотности и не континуальности множества моментов времени логически допустим переход от одного мгновения к следующему за ним.

Известно, что в классической механике время независимо от пространства; в квантовой механике время носит выделенный характер [21, с.265]; в теории относительности время, по существу, является четвертым пространственным измерением. Очевидно, что физика, как наука не имеет единой и универсальной концепции пространства и времени.

Отождествление математически непрерывного пространства и математически всюду плотного времени связано с неосознанным восприятием людьми времени как течения реки, непрерывного потока. Вода состоит из отдельных молекул и в этом время действительно подобно воде, но дальнейшие аналогии здесь не уместны. Важно то, что сама сущность пространства и времени совершенно различна, а ведь ещё А.С. Пушкин писал: «В одну телегу впрячь не можно коня и трепетную лань…».

3) Время является референтом в бытии потенциальной и актуальной бесконечности. Временная последовательность развивается от актуальной бесконечности прошлого к потенциальной бесконечности будущего.

Релятивистское представление об абсолютном начале времени в науке носило явно необоснованный характер, в связи с чем, даже релятивистская космология обратилась к понятию «Мультивселенной», как безначальной и бесконечной совокупности вселенных. Идею потенциальной реальности, как фундаментальной в т.ч. применительно ко времени успешно развивает в настоящее время известный специалист в области философии физики А.Ю. Севальников [16, с. 120-129]. Таким образом, прошлое время актуально бесконечно при отсчете в направлении от ближайшего момента к прошлому, а будущее время ещё не наступило, т.е. оно только потенциально не имеет конца. При этом если бы время было математически непрерывным, то оно было бынеподвижным,каковым и является реальное пространство [3, с. 263-272]. Совершенно невозможно допустить также то, что время обратимо, ибо в этом случае мы наблюдали бы лавинообразное нарушение причинно-следственных связей в природе.

4) Движение квантовых частиц атемпорально и математически мнимо потому, что между реальным пространством и временем биекция (взаимно однозначное соответствие)отсутствует.

У квантовой частицы избыток точек реального пространства, чтобы двигаться траекторно и недостаток точек времени, чтобы двигаться темпорально, поэтому её движение допустимо описать как путь точки в плоскости комплексного переменного или иным способом с обращением к множеству чисто мнимых чисел и кватернионов [13, с.15-19].

Литература:

1. Бирман И. Интернет ресурс.https://ilyabirman.ru/meanwhile/2006/07/10/1/.
2. Босс В. Теория множеств: от Кантора до Коэна. М.: URSS. 2016. 204с.
3. Годарев-Лозовский М. Г. Метатеоретические основания науки. // Проблемы исследования Вселенной. 2020, 39(2). С.263-272.
4. Годарев-Лозовский М.Г. Тезисы гипотезы связи бесконечных величин и счетных множеств // Проблемы исследования вселенной. 2020. 39(2). С. 113-115.
5. Есенин-Вольпин А. С. Анализ потенциальной осуществимости. Философия. Логика. Поэзия. Защита прав человека. М.: РГГУ, 1999. 452 с.
6. Кантор Г. О различных точках зрения на актуально бесконечное. Труды по теории множеств. Т. 2. М.: Наука. 1985. 430 с.
7. Катасонов В. Н. Диссертация на соискание степени доктора богословия. Тема диссертации: “Концепция актуальной бесконечности как место встречи богословия, философии и науки”. М. 2012. 54 с.
8. Клайн М. Математика. Утрата определенности. М.: Мир.1984. 445с.
9. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: В 2-х томах. Т. 1. Арифметика. Алгебра. Анализ. М., Наука.1987. 432 с.
10. Кондаков Н.И. Логический словарь – справочник. М.: Наука. 1975. 717с.
11. Математический энциклопедический словарь/ гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: Советская энциклопедия, 1988. 845 с.
12. Мордкович А.Г., Солодовников А.С. Математический анализ. М.: Высшая школа,1990. 416с.
13. Понтрягин Л.С. Обобщения чисел. М.: Наука. 1986. 117 с.
14. Пуанкаре А. О науке. М.: Наука,1983. 735 с.
15. Светлов В. А. Философия математики. М.: URSS, 2016. 208 с.
16. Севальников А.Ю. Интерпретации квантовой механики. В поисках новой онтологии. РАН. Институт философии. М: URSS, 2009. 189 с.
17. Синкевич Г.И. Развитие понятия числа и непрерывности в математическом анализе до конца XIX века. Институт истории естествознания и техники им. С.И. Вавилова. М. РАН. 2018. 412с.
18. Султанова Л. Б. Актуально бесконечное в математике как лабиринт мышления// Вопросы философии. 2017 (3). С. 88-94.
19. Философия математики: актуальные проблемы. Математика и реальность. Тезисы Третьей всероссийской научной конференции; 27-28 сентября 2013 г. / под ред. В. А. Бажанова и др. М.: Центр стратегической конъюнктуры, 2013. 270 с.
20. Ченг Ю. Математический беспредел. СПб.: Питер. 2019. 332с.
21. Шредингер Э. Специальная теория относительности и квантовая механика // Эйнштейновский сборник. М.: Наука. 1982-1983. 363 с.

Literature:

1. Burman I. Online resource. https://ilyabirman.ru/meanwhile/2006/07/10/1/.
2. Boss V. Set theory: from Cantor to Cohen. M.: URSS. 2016. 204p.
3. Godarev-Lozovsky M. G. Metatheoretic foundations of science. // Problems of research of the Universe. 2020, 39(2). Pp. 263-272.
4. Godarev-Lozovsky M. G. Theses of the connection hypothesis of infinite quantities and countable sets // Problems of studying the universe. 2020. 39(2). Pp. 113-115.
5. Esenin-Volpin A. S. analysis of potential feasibility. Philosophy. Logic. Poetry. Protection of human rights, Moscow: RSUH, 1999, 452 p.
6. Kantor G. On various points of view on the actual infinite. Works on set theory, vol. 2. Moscow: Nauka. 1985. 430 p.
7. Katasonov V. N. Dissertation for the degree of doctor of theology. Dissertation topic: “The concept of actual infinity as a meeting place for theology, philosophy and science”, Moscow, 2012, 54 p.
8. Kline M. Math. Loss of certainty. M.: Mir.1984. 445p.
9. Klein F. Elementary mathematics from the higher point of view: in 2 volumes. Vol. 1. Arithmetic. Algebra. Analysis, Moscow, Nauka. 1987, 432 p.
10. Kondakov N. I. Logical dictionary – reference. Moscow: Nauka. 1975. 717p.
11. Mathematical encyclopedia/ CH. ed. Yu. V. Prokhorov. M.: Soviet encyclopedia, 1988. 845p.
12. Mordkovich A. G., Solodovnikov A. S. Mathematical analysis. Moscow: Higher school, 1990. 416p.
13. Pontryagin L. S. generalizations of numbers. Moscow: Nauka. 1986. 117 p.
14. Poincare A. About science, Moscow: Nauka. 1983, 735 p.
15. Svetlov V. A. Philosophy of mathematics. Moscow: URSS, 2016. 208 p.
16. Sevalnikov A. Yu., Interpretations of quantum mechanics. In search of a new ontology. RAN. Institute of philosophy. M: URSS, 2009. 189p.
17. Sinkevich G. I. Development of the concept of number and continuity in mathematical analysis until the end of the XIX century. Vavilov Institute of history of natural science and technology, Moscow, Russian Academy of Sciences, 2018. 412p.
18. Sultanova L. B. the infinite is relevant in mathematics as a labyrinth of thinking// Question of philosophy. 2017 (3). Pp. 88-94.
19. Philosophy of mathematics: actual problems. Mathematics and reality. Abstracts of the Third all-Russian scientific conference; September 27-28, 2013 / edited by V. A. Bazhanov and others. M.: Center for strategic conjuncture, 2013. 270 p.
20. Cheng Yu. Mathematical lawlessness. SPb.: Piter. 2019. 332s.
21. Schrodinger E. Special relativity and quantum mechanics // Einstein’s collection, Moscow: Nauka, 1982-1983, 363 p.