Где и почему эффективна математика

Александр Владимирович Коганов, This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.

к.ф-м.н., зав. отделом Математики НИИСИ РАН

В чём причина эффективности математики в физике и инженерии?

Почему падает её эффективность в естественных и экономических науках?

Причина конфликта математики с гуманитарными науками и философией.

Странная связь математики и искусства.

Вторжение математики в область нестрогого знания.
 

Споры об эффективности математики ведутся со времён античности. Конфликты возникали ещё в школе Пифагора в VI в. д. н. э. По некоторым сведениям даже гибель школы была связана с этим конфликтом. Восстание возглавил бывший ученик, которого отчислили за неусидчивость. А поводом стало справедливое деление военной добычи по правилам математики. Многие не согласились. Но после этого город пришёл в упадок. Тут-то и видна эффективность математики.
 

Математика задаёт стандарт, общий для всех людей. Вначале это был стандарт измерений. Простейшие приборы и четыре действия арифметики над измеренными величинами. Потом возникла логика, содержащая стандарт правильных рассуждений. Арифметика расширилась на высказывания. В стандарте и скрыта эффективность математики. Она позволяет согласовать действия огромного числа людей, даже незнакомых друг с другом, работающих независимо над похожими задачами. При этом математика эффективна только при наличии общей метрологии. Должны совпадать не только способы обработки информации, но и способы получения исходных данных.
 

Одной из ловушек логики является запрет на порочный круг в рассуждениях. В цепочке определений каждого понятия не должно встречаться это понятие и его синонимы. Оказалось, что в естественном языке очень часто нарушается это правило. Это связано с тем, что язык используется для названия предметов и действий. Слово определяется не словами, а предъявлением обозначаемого реального явления. Связанные с ним слова образуют свободные системы ассоциаций, в которых нарушаются все законы логики. Например, «страшно красивый пейзаж», вполне понятное описание. «Страшный» относится к силе эмоции, а «красивый» к качеству эмоции. Оба слова определяются личными переживаниями. «Мокрая вода» это не порочный круг, поскольку слово «мокрый» относится к ощущениям, а слово «вода» к веществу. Но такой язык воспринимается разными людьми по-разному. Ассоциации индивидуальны. С этим связано и изменение восприятия произведений искусства с течением времени, поскольку меняется круг ассоциаций у людей. А теорема Пифагора сегодня обозначает в точности то же, что и в момент создания. Это связано со способом определения смысла слов в математике.
 

Определения в математике не содержат порочных кругов. Но тогда любое определение должно кончатся словами, у которых нет словесного определения. Это начальные понятия. Их определение задаётся через эталонные физические действия, которым требуется обучаться специально на начальной стадии изучения математики и точных наук. Сегодня используется определённый набор начальных действий и объектов. Автор изучил этот вопрос и построил описание современных логических эталонов, которое будет представлено в докладе. Главным эталоном является носитель информации, свойства которого позволяют запоминать, хранить и изменять информацию. Вторым по значимости является алфавит, содержащий различимые символы, которые используются как единицы информации. Операции изменения информации основаны на особых эталонах. Само создание эталона это тоже эталон.
 

Использование эталонного языка позволяет строить конструкции, которые одинаково трактуются всеми людьми с достаточным математическим образованием. Элементарные блоки этих моделей строятся в процессе анализа изучаемого явления. Соединение элементов в единую систему аналогично синтезу в содержательном мышлении. Любая математическая теория или конструкция является разновидностью машины, которая приводится в действие либо человеком, действующим в рамках эталонных действий, либо техническим вычислителем. Поэтому эффективность математики зависит от возможности выделения элементов и их взаимосвязей в изучаемом явлении. На протяжении тысячелетий люди копили знания о тех явлениях, где удаётся выявить математическую структуру. Прежде всего, ими оказались геометрические объекты и процесс счёта различимых предметов. Потом к ним присоединились высказывания, построенные с использованием стандартных союзов «и, или, не». Параллельно развивались системы физических измерений, переводящие наблюдения в числа, геометрические фигуры и логические утверждения. Наука о математических моделях таких систем измерений реальных явлений постепенно выделилась в физику. Иными словами, эффективность математики в физике явление тавтологическое: физика строится как наука о тех явлениях, которые удаётся математически моделировать.
 

Границей эффективности математики являются те явления, для которых не удаётся выделить эффективную систему эталонных измерений. Для этих явлений характерны неустойчивые и субъективные ассоциации в человеческом восприятии, или же очень большое число элементарных составляющих, которые пока не удаётся выделить с достаточной для моделирования полнотой. Такая ситуация сегодня характерна для многих естественных и социальных наук, таких как биология, медицина, психология, экономика, политология, искусствоведение, этика и т. п. В этих областях моделировать удаётся только отдельные аспекты явлений, например, генетический код, или логистику.
 

Особый конфликт возникает с науками, которые основаны на ассоциативной логике, где логический вывод явно или скрытно подменяется очевидностью по набору большого набора частных случаев. Эти частные случаи обычно подбираются в самой теории и используются как аргументы. В таких науках (философия, искусствоведение, политология и т. п.) разные авторы могут приходить к несовместимым выводам, используя разные системы ассоциаций для одинаковых базовых терминов. В этих науках математизация совершенно невозможна. Попытка привести их к строгим выкладкам приводит к созданию противниками альтернативных трактовок базовых понятий, что разрушает основу строгих доказательств. В этих науках диспут является единственной формой эволюции. По сути, это переход от формальной логики к игровой, где важно не доказать, а переиграть противника, поставить его в тупик. В играх эффективность математики ограничена. Здесь доминируют субъективные факторы.
 

Несмотря на декларированную субъективность искусства, именно в искусстве математика оказалась своеобразно эффективна. Причиной этого является сильно развитый аспект имитации реальности в большинстве искусств. Математика при этом работает так же, как и в физике, предоставляя хорошие модели реальности. Она дала искусству законы перспективы, цветовой гаммы, музыкальной гармонии, пропорции и т. п. Кроме того, математика и физика предоставляют искусству средства реализации и объекты, например, красители, светотехнику, сценические конструкции и механизмы, видеозапись. Иногда искусство использует математические объекты (геометрические фигуры, формулы и др.) для усиления образности. Но управление ассоциациями людей целиком лежит на художнике. Тут математика не помощник.
 

Вторжение математики в область нестрогих ассоциаций происходит сегодня в разработках искусственного интеллекта. При этом сами ассоциации становятся объектом, с которым математика работает, но не математическим инструментом. Прежде всего, это касается интерфейсов человек-машина и переводов с одного разговорного языка на другой. Для получения качественного перевода требуется формировать поле вербальных ассоциаций каждого слова при различных контекстах. Сегодня наблюдается прорыв в этом направлении при использовании искусственных нейронных сетей. В задачах управления такие системы выдают рекомендации оператору по ассоциации с возникшей ситуацией. Описание ситуации формируется датчиками и/или вербальными запросами человека. Сами рекомендации частично формируются по модели процесса, а частично являются текстами, составленными опытными экспертами. Следует отметить, что развитие вычислительной техники и информационных сетей сегодня постепенно формирует новый класс эталонов общения с соответствующей аппаратурой. И эти эталоны становятся общезначимыми независимо от математического образования человека, также как общезначимы понятия числа, веса, длины, длительности.

Просим участников подготовиться к заседанию семинара по рекомендованной докладчиком литературе: