Александр Гордон: Как «недоделанный» гуманитарий, я привык считать, что «в Начале» все-таки «было Слово», вне зависимости от того, как это понимать. Вы же утверждаете нечто противоположное, но интригующее, даже шокирующее: «в Начале», в основе всего, – Число, и только число.

Владимир Кассандров: Вы знаете, в наш век компьютерных информационных технологий, цифровой записи и т.п., наверное, очень просто себе представить, что, по сути дела, Слово, Число, Код, Алгоритм, последовательность символов – это практически синонимы. И поэтому как раз путь к реальному миру через число, возвращение к Пифагору, уже на современном уровне развития и математики, и естественнонаучных представлений – это как раз, если уж говорить по большому счету, то, что в Библии, наверное, и имелось в виду, по крайней мере, так, как мы ее понимаем сейчас.

Я хочу рассказать сегодня об уже давно развиваемом мной с учениками так называемом «алгебродинамическом» подходе к теории поля. Хочу рассказать немножко об его философских посылках, о математике, лежащей в основе этого подхода, и перейти к описанию той физической картины Мира, к которой этот подход приводит. Причем картина получается достаточно интересная и необычная, и эта необычность меня лично привлекает тем, что она не выдумана из каких-то эстетических предпочтений или полученных из каких-то естественнонаучных результатов, а она как бы прочитана в той структуре, с которой этот подход начался. И настолько, насколько это точно и полно прочитано, настолько она и может считаться достоверной. Соответствует ли эта структура и эта картина нашему миру или какому-то виртуальному миру – это вопрос, конечно, неразрешимый сейчас. Но сама возможность построения из какой-то изначальной, очень просто записанной, компактной и имеющей глубокие математические основания структуры, построения из этой структуры без всяких дополнительных посылок какого-то сложного мира, где есть понятия времени (давайте скажем осторожно – предвремени), пространства (или предпространства), частиц, полей, взаимодействий – все это очень привлекает.

А.Г. Простите, я сейчас попробую задать вопрос на понимание. Вы не ставите себе целью изучение реального мира. Вы ставите себе целью, основываясь на принципах, которые вам кажутся верными, используя математику как основу основ, создать некий мир, который может совпадать с существующим, а может и не совпадать.

В.К. Да, с концом вашей фразы я согласен. Но с началом – не совсем. Я как раз с этого и хочу начать – с философских посылок. Хотя на самом деле, исторически всегда физики приходят к философии уже на «выходе», а начинают с каких-то интуитивных, внутренних, неосознанных побуждений. Но потом все меняется местами. И чтобы донести новые вещи, лучше, конечно, начать с философии.

Давайте поговорим немножко о ситуации в теоретической физике, о той, как нас учили и продолжают учить в университете. Со времен Ньютона и Галилея «богом» физика является эксперимент: проверка экспериментом, предсказание каких-то новых эффектов, которые можно опять-таки обнаружить на эксперименте и так далее. Именно благодаря такой прогрессивной для того времени философии мы и имеем то, что мы сейчас имеем. То есть возможность использования очень сложных закономерностей, существующих в природе, и использование их на высоком технологическом уровне, с каким-то пониманием того, как надо сделать, чтобы построить какую-то машину или получить какой-то эффект.

Но так было не всегда. Если мы вернемся к временам Древней Греции, во времена средневековых ученых и даже во время не так давно живших великих ученых, например Гамильтона, Дирака, Эйнштейна, то обнаружим, что им совершенно не были свойственны такие взгляды, как это ни странно сейчас. Более того. Есть, в частности, прекрасная книжка М.Ю. Симакова «Пифагорейская Программа». Когда я ее прочитал, то с удивлением подумал, что та философия, к которой я пришел в конце концов, была совершенно естественна для ученых и мыслителей предшествующих поколений.

Действительно: они не пытались начать с эксперимента и закончить экспериментом, они пытались понять какой-то Принцип, в котором заключалось бы устройство природы, ее эволюция, структура. Принцип этот, он не был физическим: скажем, постоянство скорости света или принцип эквивалентности или еще что-то. Он имел дело с какими-то совершенными телами Платона, с идеальными орбитами и с гармонией сфер у Кеплера, с исключительными алгебрами у Гамильтона и так далее. И они верили, что только на этом пути можно по-настоящему понять, а не описать, с какой-то прагматической целью, устройство нашего мира. Потом все изменилось. И для того времени, еще раз повторюсь, это было, наверное, очень хорошо и дало толчок развитию европейской науки. Но как и все изменения, в настоящее время они потихонечку исчерпывают себя. И на новом витке, наверное, мы неизбежно будем возвращаться к воззрениям древних.

К воззрениям древних, прежде всего, в том, что в основе Мироздания, в том, как наш Мир «задумывался», если он задумывался Творцом, в том, как он функционирует, – лежит некий логический или числовой принцип. Потому что другого языка, более общего и более достоверного, чем такие, совершенно абстрактные и первичные, разделы математики, мы просто не знаем.

Я позволю себе сейчас процитировать величайших физиков 20-го столетия. Эти цитаты малоизвестны и даже, более того: они в какой-то степени неудобны для большинства теоретиков, физиков современного поколения, они слишком непривычны. Но они показывают, что даже в 20-м веке большинство людей, которые открывали так называемые «законы природы», очень хорошо понимали ограниченность этих законов. Они допускали, что эти законы недостоверны. Не в том смысле, что эти законы плохо описывают окружающий мир, а в том смысле, что описание это не единственно, что может быть совершенно другой язык, совершенно не похожий на существующий ныне. Другие уравнения, другие области математики, которые гораздо адекватнее описывают мир. И, самое главное: они понимали, что путь к этому начинается и кончается не в эксперименте, а во внутренних свойствах исследуемых структур, таких, какими они созданы. И так же, как мир создан и объективно существует, так и структуры. Эрмит говорил, что функции, числа подобны «зверям в зоопарке». То есть мы на них можем только смотреть, любоваться ими, их совершенством. Но ни в коем случае не выдумывать их «из головы»: они уже есть.

Я начну с цитаты Эйнштейна, даже две цитаты приведу. Первая как раз о том, с чего я начал. Эйнштейн писал: «Может ли человеческий разум без всякого опыта, путем только одного размышления понять свойства реальных вещей?» (при этом имеется в виду, конечно, что он с большой вероятностью допускал положительный ответ на этот вопрос). И в письме Борну он, в общем-то, положил начало той новой физике, которую я пытаюсь развивать в меру сил. «Мы хотим, – писал он, – не только знать, как устроена природа (и как происходят природные явления), но и по возможности узнать, почему природа является именно такой, а не другой».

Ведь понимаете, вот мы говорим об уравнениях Максвелла, об уравнениях Эйнштейна и т.п. Мы уверены, что это истины, раз и навсегда открытые и оправдавшие себя, потому что на них работают электрические машины и прочее, на них держится вообще вся цивилизация. Но на самом-то деле ведь нет никакой гарантии, что они даже в каком-то приближении останутся в будущей теории. Нет никакой гарантии, что ту же совокупность явлений, которые мы наблюдаем, нельзя описать на языке, гораздо более адекватном природе, на внутреннем языке Природы, который нельзя выдумать, а можно только прочитать.

А.Г. То есть вам кажется, что уже открытые законы, существующие закономерности, верны, но не достаточно верны, чтобы выполнить главную задачу…

В.К. Более того, ведь нет вообще никакой гарантии, что они верны. Есть только уверенность, что они хорошо описывают, достаточно хорошо описывают определенную совокупность явлений. И с этим, кстати, согласится и большинство физиков. Но разница идет дальше. Большинство говорит так: ну хорошо, завтра мы откроем какие-то более совершенные уравнения, которые в пределе по какому-то параметру перейдут в предыдущие. Значит, они будут иметь более широкую область применения и т.д. А здесь речь идет о том, что, может быть, и этого никогда не случится; что, может быть, нам надо отказаться вообще от этого языка.

Я хотел этим закончить, но, раз уж речь зашла о таких вещах, то я скажу пару слов о следующем. На самом деле, многие думающие и активно работающие в науке люди приходят к убеждению, что язык, естественный для природы, должен быть изначально нелокальным. То есть он не должен иметь дело, скажем, с дифференциальными уравнениями, с изменением поля или какой-то субстанции от точки к точке. Почему? На мой взгляд, это очень просто.

Ведь, опять-таки, современная физика родилась из эксперимента; а какие были эксперименты: с тележками, с бросанием камней, потом с электромагнитными полями. Все это локальные эксперименты. Человек локален по своей природе, он ограничен во времени и в пространстве. И естественно, что наука, которая выросла из его практической деятельности и является абстракцией этой его деятельности, она неизбежно и является локальной, эта наука. Но какова гарантия, что Мир устроен на основе локального принципа? Ведь гораздо проще, чем выдумывать какие-то уравнения отдельные, какие-то поля, гораздо проще задать единый закон на всем многообразии, на всем пространстве-времени. И тогда естественным языком станут, например, функциональные уравнения, в общем, не связанные с бесконечно малыми изменениями поля. И топологические, конечно, вещи. Они сейчас действительно стали модными в физике, и они, вне сомнения, имеют право на существование, потому что они связаны именно с нелокальностью. Вот вам пример.

Я уже, наверное, к этому не вернусь, поэтому хочу обратить внимание на то, что некоторые «наметки» на нелокальность нашего мира сейчас просматриваются в эксперименте. А именно: есть эксперименты С.Э. Шноля, который обнаружил очень интересные корреляции пространственно удаленных и причинно не связанных событий. Я думаю, Александр, что, может быть, вы его приглашали…

А.Г. Он нам рассказывал об этом.

В.К. Да. Вот поэтому очень даже может быть, что скоро наука просто вынуждена будет искать и внедрять, причем независимо ни от какой философии, а просто с целью лучшего описания природы, совершенно новый язык. И оттуда, конечно, этот сегодняшний язык локальный, язык дифференциальных уравнений, должен следовать. В этом смысле принцип соответствия, конечно, сохранится. Но он и будет совершенно естественно следовать из нелокальной теории, потому что из отображений, например, очень легко получить дифференциалы отображений, и из уравнений функциональных тогда будут следовать, возможно, и обычные, привычные уравнения физики. Так что здесь путь совершенно понятен и естественен.

Но я сейчас поведу речь о другом. О том, что Принцип должен быть, принцип, скорее всего, общий, он должен «кодироваться» в абстрактных, исключительных математических структурах. Известно их не так много. Многие люди, даже просто из моих друзей и знакомых (я знаю таких людей, совершенно «нетривиальных»), думают и пытаются построить конструктивную физику, скажем, на основе свойств целых чисел. Или на основе алгебр логического типа, так называемых «булевых» алгебр.

В этой связи я не могу не процитировать еще одного великого физика, Дж.А. Уилера. В трехтомнике по гравитации этот «матерый», выдающийся ученый позволил себе включить параграф, где он пишет, например, следующее: «Какой-то принцип, единственно верный и единственно возможный, когда он станет нам известен, будет столь очевидным, что не останется сомнений: Вселенная устроена таким-то и таким-то образом и должна быть так устроена, а иначе и быть не может». И дальше, уже в связи с тем, о чем мы говорили: «Реальная предгеометрия реального физического мира тождественна исчислению высказываний». То есть из логики Уилер мечтал получить физику, со всей ее феноменологией, с описанием всего богатства физических взаимодействий, «зоопарка частиц» и так далее. Конечно, это мечта. Я не знаю до сих пор никаких работ, в которых было бы реальное продвижение в этом направлении. Пока это только очень далекая перспектива.

Но есть более близкие вещи. В математике существует несколько структур, их «по пальцам» можно перечесть, которые в принципе известны давно, но их богатство, глубина их внутренних свойств стала понятна совсем недавно и, в частности, в связи с появлением и усовершенствованием компьютеров. В первую очередь здесь можно упомянуть фракталы. У вас была передача прекрасная, я ее как раз смотрел, о фракталах, Малинецкий и Курдюмов, по-моему, выступали. Поэтому я позволю себе просто, не углубляясь, попросить показать рисунки, связанные с фракталами (0А,0В,0С).

Вот такие сложные миры получаются из удивительно «плотной» по информации начальной математической структуры. Квадратичное отображение, когда на «комплексной плоскости» следующее число равно предыдущему в квадрате плюс константа С, при разных С дает совершенно удивительные «миры». Не буду углубляться сейчас в то, как это получается. А вот знаменитые «кардиоды» Мандельброта, это уже множество значений самого параметра С с определенными свойствами. Опять-таки каждому числу соответствует свой «мир», и все эти миры как бы сведены в какую-то универсальную геометрическую и алгебраическую структуру. Причем, во многом вид этой универсальной структуры, множества Мандельброта, не зависит от самого отображения. То есть вы можете взять другое отображение и опять получить ту же самую структуру. Эти структуры «самоподобны». То есть если вы увеличите какой-то участок рисунка, вы там увидите как бы новый мир, но он будет во многом подобен миру на больших масштабах.

Физики, собственно говоря, здесь опять делятся на две части. Ортодоксальные физики просто игнорируют существование таких структур. Слишком многое надо менять, большинство не готово к этому. Люди более гибкие пытаются построить фундаментальную фрактальную физику. Не какие-то приложения, к кластерам звездным или к кристаллам, к береговой линии и так далее, а построить действительно фундаментальную фрактальную физику. Но опять-таки это только первые попытки, это опять-таки дело будущего.

Существуют и некоторые другие структуры, о которых я надеюсь сказать попозже. Теперь же перейду ближе к своим вещам, но перед этим упомяну еще замечательные структуры, открытые нашим российским физиком, Ю.И. Кулаковым из Новосибирска, учеником И.Е. Тамма. В свое время, уже достаточно давно, он предложил получать физические законы из так называемых систем отношений. И только из них! То есть вот это и есть вещи, очень близкие к тем, о чем мы говорили: к логике, к исчислению высказываний. И одна эта исходная посылка позволила ему написать очень красивое и «компактное» уравнение, которое приводит к совершенно нетривиальной математике и, с другой стороны, дает, например, обоснование простых линейных законов, которые мы имеем в общей физике. Например, закон Ньютона очень элегантно формулируется на языке «систем отношений», закон Ома и др.

Другой наш физик, Ю.С. Владимиров, подхватил эти идеи и попытался их реализовать на уровне элементарных частиц, построить на основе «систем отношений» фундаментальную физику. И продвижения здесь есть, очень большие продвижения. Недавно у него вышла монография «Метафизика». Он не побоялся даже использовать такое, совершенно незаслуженно «опошленное», если можно так сказать, слово; он имеет на это право. Там действительно очень большие продвижения.

И, наконец, я подхожу к тому, что же все-таки является основой алгебродинамического подхода: это исключительные алгебры. Давайте перейдем к ним, то есть к математическим основаниям моего подхода.

Что такое исключительная алгебра? Наверное, большинство учило комплексные числа: это пара чисел с законами сложения и вычитания обычными, покомпонентными, и с простым законом умножения, который, в общем-то, просто следует из того, что вы добавляете символ «корень из минус 1», так называемую «мнимую единицу» «I», квадрат которой равен минус единице. Красивейшая вещь. Они соответствуют определенной геометрии: геометрии плоскости. Все знают, что комплексное число можно изобразить на плоскости.

Оказывается, что их немного, таких законов. И если закон умножения комплексных чисел соответствует геометрии двумерного мира плоскости, то возникает вопрос: а может быть, какая-то числовая система такого же типа соответствует нашему трехмерному пространству. А если говорить о теории относительности, которую мы давно уже «приняли на вооружение», то и 4-мерному пространству, так называемому пространству Минковского.

Это старая идея. И реализовал ее, открыл алгебру трехмерного пространства великий физик Уильям Гамильтон. Известна даже дата, когда он это сделал. На мосту в Дублине через Королевский канал имеется табличка, где написано: «здесь 16 октября 1843 года Уильям Гамильтон открыл свою таблицу умножения кватернионов». Гамильтон, который предложил самую элегантную из известных трактовку классической механики, который много сделал в оптике, в частности предложил оптико-механическую аналогию, – он больше всего в своей жизни ценил и дорожил открытием кватернионов. Удивительно. И всю свою оставшуюся жизнь после этого открытия он посвятил разработке этой алгебры.

Дайте, пожалуйста, формулу № 2. Здесь, в отличие от комплексных чисел, имеется не две и даже не три, а четыре базисных единицы: одна действительная и тройка мнимых единиц, как бы три «I»: «I, J, К». Квадрат каждой из них равен минус единице, так же как для комплексных чисел. Но, кроме того, и в этом была вся тонкость, почему эту алгебру не могли открыть раньше, между мнимыми единицами имеется весьма специфическое взаимное умножение: каждая пара перемноженных мнимых единиц приводит в результате к третьей. Самое забавное при этом, что если переставить порядок сомножителей, то результат изменит знак. То есть, например «I*J=K», а «J*I» будет равно уже «-K». Эта таблица оказывается единственной, исключительной во многих отношениях, и была доказана потом теорема, что кроме такой алгебры есть еще только одна подобная восьмимерная алгебра, алгебра октав, но и она в некоторых отношениях уже не столь красива, как алгебра Гамильтона.

Некоммутативность, то есть зависимость произведения от порядка сомножителей, действительно, по-видимому, лежит в основе этого мира, потому что она возникает везде: в квантовой механике, например, она является основой всего математического аппарата. Природа некоммутативности до сих пор не ясна. Но, может быть, она связана как раз с существованием таких исключительных алгебр.

Так вот, оказалось, что эта алгебра Гамильтона даже в большей степени «живет» и описывает и как бы «кодирует» наше трехмерное пространство, чем комплексные числа – двумерное (пространство). Потому что, если вы будете поворачивать плоскость, на которой «живут» комплексные числа, закон умножения будет меняться, будет оставаться постоянным только «модуль» комплексного числа. А если вы будете вращать трехмерное пространство, то закон умножения этой алгебры – и она единственная такая – будет оставаться инвариантным, он будет один и тот же во всех системах отсчета. Математики говорят, что группа симметрий, группа автоморфизмов этой алгебры соответствует группе вращений трехмерного пространства.

И поэтому после открытия Гамильтона начался настоящий кватернионный «бум», который продолжался долгие годы и даже вспыхивает эпизодически до сих пор. И действительно, эта алгебра удивительно тесно связана со свойствами нашего трехмерного пространства. Известно, что даже движение твердых тел, движение спутников и тому подобное рассчитывается очень легко и изящно в кватернионных переменных. До сих пор ничего лучшего невозможно предложить, это самый элегантный и самый простой математический аппарат, который позволяет все это рассчитывать.

Но Гамильтона волновало не это. Он хотел понять, как свойства физического Мира могут быть «скрыты» во внутренних свойствах этой алгебры. И более того: поскольку оказалось, что триплеты перемножать нельзя так красиво, как величины, содержащие четвертую единицу, у него сразу появилась мысль: а не связать ли эту четвертую единицу, действительную единицу, с физическим Временем? Это было задолго до теории относительности, задолго до Г. Минковского, который связал геометрически время и координаты в единое 4-мерное многообразие.

Конечно, ничего этого у Гамильтона не получилось. И теперь мы хорошо понимаем, почему: потому что эта алгебра не имеет прямого отношения к преобразованиям Лоренца. Для преобразований Лоренца, свойственных нашему миру и основных в теории относительности, эта алгебра чуждая. И это было одной из причин, почему со временем наступило разочарование в идеях Гамильтона и его последователей.

Где же нашелся выход? Выход нашелся в том, чтобы эту алгебру «удвоить», то есть каждую из ее компонент считать комплексной. Тогда мы естественно переходим к алгебре, содержащей преобразования Лоренца в качестве симметрии; но удивительным образом она оказывается тогда 8-мерной. И только в каком-то определенном подпространстве этого 8-мерного пространства, оказывается, действует геометрия нашего мира. Есть другие «срезы» и другие отвечающие им геометрии. Куда девать эти лишние измерения? Это очень долго было загадкой. И для меня, когда я начинал, это было загадкой. Сейчас я знаю примерный ответ на этот вопрос: они нужны; они нужны для того, чтобы в этом мире могли существовать нетривиальные физические поля и частицы-особенности – об этом позже.

Давайте поговорим теперь о том, что же такое сам по себе алгебродинамический подход? С чего он начался?

В теории функций комплексного переменного есть т.н. условия дифференцируемости, которые называются уравнениями Коши-Римана. Обычно их проходили раньше в университете в курсе теории функций комплексного переменного. Эти «условия аналитичности» представляют собой очень простые линейные дифференциальные уравнения.

Много попыток предпринималось для того, чтобы обобщить эти условия, эти уравнения, на алгебры больших размерностей, в частности, на алгебры типа кватернионов. Но необычное свойство некоммутативности этих алгебр приводило к тому, что все эти попытки оказывались или просто неудачными, или они полностью воспроизводили то, что мы знали из комплексного анализа, ничего нового не добавляя.

Я же попробовал учесть эту некоммутативность с самого начала, то есть определить свойства аналитичности функций в этих алгебрах так, чтобы в этом определении свойство некоммутативности фигурировало с самого начала. Я не буду забивать головы слушателей формулами, просто покажу одну формулу (покажите, пожалуйста, формулу № 1) для общего понимания «плотности информации», которая здесь имеет место. В этой формуле всего 4 значка, это условия дифференцируемости функций бикватернионного переменного – все отображения, все функции, которые удовлетворяют этому соотношению, мы рассматриваем как физические поля.

Для того чтобы найти конкретно физические поля, для того чтобы описать их особенности, нам нужно просто решить эти математические уравнения. Мы можем вообще при этой процедуре ничего не говорить ни о полях, ни о частицах, ни о пространстве-времени; мы можем просто говорить об отображениях, об особых точках этих изображений, то есть о чисто абстрактных математических понятиях. И только на самом дальнем этапе, когда у нас уже вырисовывается математическая картина, мы можем с достаточной уверенностью сказать, что это вот надо интерпретировать как поля, это как частицы, это как взаимодействие (а это как «световые потоки», о которых я попозже хочу поговорить).

Вот и сравните теперь плотность информации, когда физическая теория строится на основании одной такой формулы, с плотностью информации в современной теоретической физике, когда, например, характеристическая функция, так называемый «лагранжиан», описывающая электромагнитные и слабые взаимодействия, такова, что даже просто чтобы ее записать только изначально, надо потратить примерно страницу бумажного листа. Откуда, почему? Эти вопросы там не ставятся. Потому что так получается хорошо. И действительно, хорошо получается, ничего нельзя сказать. Но разве это есть понимание природы?

Немножко лучше дело обстоит сейчас в струнной теории: сейчас самое модное направление – это струнная теория, которая пытается объединить все взаимодействия и иметь дело с единой физикой на так называемой «планковской шкале», а уж из нее пытается получить физику низкоэнергетическую, то есть ту, которую мы и наблюдаем. Но там дело обстоит только немножко лучше. Там тоже масса взятых «с потолка» предположений и постулатов: скажем, физическое пространство, оно просто считается 10-мерным или 11-мерным только потому, что там и только там хорошо получается какая-то процедура, свойственная квантовой теории. А никаких внутренних, скажем геометрических оснований для этого нет. И это только одна из тех претензий, которые можно предъявить к бурно развивающейся струнной теории.

Вообще-то, по-видимому, та теория (структура), которая, в конце концов, должна получиться в физике, во многом будет объединением всех этих попыток, более или менее удачных. То есть это будет некая теория (структура), которая будет допускать описание на многих эквивалентных языках. Это не значит, что мы можем, скажем, в духе принципа дополнительности Бора говорить о корпускулярных и, одновременно, о волновых свойствах материи. Нет, это означает, что вы можете выбрать какой-то язык и на нем последовательно описать все; но при этом вы можете выбрать и другой язык (скажем, геометрический или потом алгебраический) и получить, по сути дела, те же самые результаты, приговаривая при этом совершенно другие слова. Я думаю, может быть, это будет именно так. Но не знаю, посмотрим.

Хорошо. Итак, у нас есть эта формула, мы решаем соответствующие ей уравнения и получаем поля. Что же именно у нас получается в итоге? В итоге у нас получается очень забавная картина. Мы помним, что поля – это функции (удовлетворяющие нашему уравнению); а что же такое тогда частицы? А частицы оказываются особыми точками этих функций-отображений. Ведь посмотрите, что получается у нас, скажем, в обычной электродинамике. Из школы известно: есть у нас заряд, то есть какая-то точка (если допустим, что заряд точечный, положительный или отрицательный), и он создает вокруг себя поле. Мы «рисуем» это поле; оно действует на другие заряды; они под действием этого поля также начинают как-то совершать какие-то движения. В свою очередь они создают поле, которое действует на «первые» заряды и так далее. Ничего хорошего: сущностей очень много.

Издавна были попытки как-то упростить теорию, свести эти сущности, скажем частицы и поля, а хорошо бы еще и пространство-время, к одному некоему единому – к первооснове. Скажем, нелинейная электродинамика: была такая очень красивая программа, которая тоже не получила логического завершения; так она по сути дела имела отношение к объектам, лишь недавно обнаруженным в математике – к красивейшим объектам, «сгусткам поля», солитонам, своего рода «уплотнениям» поля. Там, в нелинейной электродинамике, нет частиц как таковых, а есть одно лишь поле, а вот точки, «места», где это поле имеет очень большую амплитуду и плотность энергии, сосредоточены в какой-то конечной области пространства. Эту область мы и называем частицепоподобным, солитоноподобным объектом. И попросту рассматриваем ее (как область местонахождения) частицы. С этой точки зрения нет никакого отдельного объекта, а есть единый солитон, который состоит из нескольких «холмов». Скажем, мы с вами сейчас, Саша, объединены единым полем с двумя выраженными «горбами».

Почему эта программа не получила хорошего «выхода», не принесла новых результатов? Одна из причин этого состоит в том, что непонятно было, как ввести в теорию эту самую «нелинейность»: слишком много способов и при этом нет никакого критерия отбора. Попробовали так, вроде ничего получается, вот так – еще красивее. А в общем-то, и ничего нового, интересного. А кроме того, и технически это гораздо сложнее. Гораздо проще, как в квантовой механике, скажем, иметь дело с линейными уравнениями. Там можно много «сливок» снять.

Так вот, оказывается, следующее: и в алгебродинамике, и даже в обычных уравнениях Максвелла можно провести ту же идеологию, что и в нелинейной электродинамике. Не нужно считать, что есть заряд, который создает поле. Можно говорить только о поле, которое везде существует, и где-то обязательно имеет особую точку. Простейшая особая точка – это действительно точка. Это точечный заряд; как часто говорят, в частности, в теории твердого тела – это топологический дефект поля. То есть какая-то «неприятность» в точке, где что-то нарушается; например, значение поля обращается в бесконечность в этой точке. Обязательно такие точки будут; только у электромагнитных волн их нет, это особое решение. Но, оказывается, что особенности поля могут быть и не только точечными.

Я сейчас покажу несколько решений, скажем, уравнений Максвелла; не самих решений, а как раз рисунков «геометрических мест», тех геометрических мест разных форм и разной размерности, где электромагнитное поле обращается в бесконечность (и которые поэтому следует интерпретировать как частицеподобные образования). Как ни странно, хотя уравнения Максвелла изучались уже около ста лет, многие из этих решений, то есть, по сути дела, все эти решения, не были известны до сих пор. А вот в этой теории они получаются очень просто. А потом можно, если хотите, забыть саму теорию и сказать, что у нас есть такие (сложные и интересные) решения уравнений Максвелла. Давайте посмотрим с вами.

Начнем, скажем, с рисунка № 2. Посмотрите, пожалуйста: в начальный момент времени вы имеете электромагнитное поле, которое везде, кроме этого вот кольца, удовлетворяет уравнениям Максвелла. Более того: для теоретиков (если, может быть, кто-то из них слушает), я могу сказать, что не только уравнениям Максвелла, а и более сложным (известным в физике) уравнениям, скажем, уравнениям Янга-Миллса удовлетворяет. Это вообще очень необычно.

Но это решение принципиально не статическое, то есть это только поле (и его особенности) в начальный момент. А потом оно начинает развиваться, опять-таки по уравнениям Максвелла, и особенность начинает изменяться. Это кольцо становится тором. Тор постепенно увеличивается в размере, «дырочка» в конце концов закрывается, и потом он «самопересекается», продолжая при этом расширяться (он же «прозрачный», это же не материальный «плотный» объект в прямом смысле слова). И получается в итоге такая (изображенная на рисунке) «тыква». Вот такой интересный пример двумерной сингулярности. Причем, эта двумерная сингулярность получается из одномерной (из кольца).

Давайте посмотрим теперь рисунок № 3 – еще один пример. Вот, пожалуйста: пример решения с сингулярностью, состоящей из двух (скрещенных) колец. (Здесь надо сказать, что это не совсем точный рисунок, эти кольца на самом деле одномерны, они не имеют толщины.) Это устойчивое образование, сингулярное, «частицеподобное», распространяется обязательно со скоростью света. То есть это решение фотонного типа. Нельзя сказать, что это решение действительно описывает фотон, потому что у фотонов есть много определяющих их свойств, которые здесь пока не получены (не обнаружены). Скажем, связь между энергией и частотой – знаменитая формула Планка. Но, тем не менее, здесь мы имеем какие-то нетривиальные решения на классическом уровне рассмотрения – не электромагнитные волны, а решения с определенной частицеподобной структурой, на которой поле обращается в бесконечность, и распространяющиеся обязательно со скоростью света. Есть еще, например, спираль такого же типа, которая тоже «идет» вдоль своей оси симметрии со скоростью света.

Покажите, пожалуйста, рисунок № 4. А вот это решение, порождающее более сложное частицеподобное образование. Посмотрите, пожалуйста: точечная сингулярность, то есть точечный заряд, можно сказать, окружен неким фронтом эллипсоидным, который в начальный момент един, а потом «расщепляется». И внешняя оболочка «улетает» со скоростью света, а вторая «сжимается», и, в конце концов, дальше идет очень сложный процесс перестройки этой сингулярности. Все соответствующие стадии перестройки легко прослеживаются. Это даже в какой-то степени «мистический» рисунок, потому что здесь на самом деле имеет место еще так называемая многозначность значений поля.

Чтобы пояснить это свойство, давайте посмотрим более простой рисунок № 1А, 1Б. Вот самое простое (статическое) решение – кольцо, которое обладает еще неким внутренним вращением или спином. Я буду потом об этом говорить, если успею. Сейчас нам важно, что если мы проходим сквозь кольцо и возвращаемся обратно, то поле меняет знак: в каждой точке пространства, таким образом, существует два значения поля. И если с точки зрения обычного наблюдателя вы можете сказать, что оно везде однозначно, то, как только вы проходите сквозь кольцо и возвращаетесь в исходную точку, у вас поле меняет знак.

Многозначность вообще естественна для комплексных решений: типичное свойство комплексных функций как раз – многозначность. Здесь она играет большую роль. И, в частности, с этим свойством связан еще один забавный вывод этой теории: для всех этих решений все сингулярности, если они имеют заряд, то этот электрический заряд должен быть кратен некоторому минимальному или «элементарному» заряду.

То есть мы получаем здесь именно то, что мы видим на самом деле в природе. Ведь, с точки зрения обычных уравнений Максвелла, заряд может быть любой. Сила источника, пожалуйста, любая, закон Кулона: Q на R квадрат при любом Q. А в природе? А в природе у нас есть только элементарные частицы, и каждая из них обязательно «несет» либо единичный положительный, либо единичный отрицательный заряд. И только более сложные образования, типа ядра гелия, например, имеют «двойной» заряд (а другие – «тройной» и так далее).

То же самое свойство непосредственно и имеет место в нашей теории. Эта теория очень «жесткая», она очень хорошо реализует идею, предложенную Эйнштейном много лет назад. Он говорил, что «правильная» теория должна быть, по-видимому, настолько жесткой, чтобы она описывала не только изменения поля объектов частицеподобных во времени, а чтобы она фиксировала даже возможные начальные формы этих объектов. Или в ней, скажем, существование частицы в данный момент здесь означает, что другая частица не может находиться в какой-то произвольной точке пространства, а только в определенной, согласованной с положением первой частицы. Это совершенно необычная ситуация для теории поля. Действительно, в теории поля вы можете задать произвольное распределение поля в начальный момент времени, а потом решить так называемую задачу Коши и проследить, как будет поле изменяться с течением времени. В этой же схеме, в схеме алгебродинамики, где мы решаем наши первичные алгебраические уравнения, а из них уже получаем физические поля и их особенности – частицы, как раз у этих частиц непосредственно и оказывается заряд квантованным: имеют место ограничения на форму и структуру частиц.

А.Г. Жесткое детерминирование.

В.К. Да, сверхжесткая детерминированность. Но удивительно, что эта детерминированность очень хорошо отвечает реальному миру. Ни одна физическая теория не дает квантование заряда, оно вносится «ad hoc», «с потолка», чтобы соответствовать эксперименту. «Почему все заряды одинаковы?» – спрашивал Уилер Р. Фейнмана, и отвечал: «Потому что это один электрон».

Покажите, пожалуйста, рисунок №7. Здесь я попытался изобразить как раз эту идею Уилера, которая находит очень богатые ассоциации в данном подходе. Наш мир представляет собой здесь, как говорят физики и математики, некоторую гиперповерхность. То есть какое-то подпространство, типа плоскости или поверхности изогнутой, «вложенное» в пространство большего числа измерений. Представьте себе теперь, что физические объекты принадлежат не только нашему миру, а всему пространству. Скажем, этот физический объект пусть будет модной сейчас струной. Эта струна «живет» во всем пространстве, она пронизывает наш мир в каких-то определенных точках. Если струна движется, то эти точки будут смещаться «по листу», и мы будем, по идее Уилера, воспринимать эти точки, как точечные заряды, взаимодействующие между собой частицы. Представьте себе, что «изгиб» этой струны ушел туда, под лист, тогда заряды приблизятся и аннигилируют. Причем обязательно вместе, не может пропасть отдельно один заряд. Из такой картинки можно даже, по-видимому, вывести какие-то законы сохранения.

А.Г. Суперсимметрия?

В.К. Нет, Александр, это не суперсимметрия – это совершенно чуждая ей вещь. Это вещь, идущая от работ Калуцы, от идей пятимерия 30-х годов. Она действительно получила развитие в теории суперструн. Действительно. Но сама идея, она совершенно не связана с этим. И тождественность этих частицеподобных образований тоже может быть как раз математически обоснована в той модели, о которой я рассказываю. То есть дополнительные (в данной модели – комплексные) измерения здесь действительно играют огромную роль.

Теперь давайте, поскольку времени осталось мало, перейдем к самому основному, самому интересному. Структура решения здесь удивительна еще вот чем. Для любого решения, какое бы мы не взяли, в каждой точке можно указать некоторое направление. Как для магнитного поля, скажем, или для электрического поля, когда есть силовая линия, есть касательная, есть вектор; так и здесь тоже. Но этот вектор отличается от тех, которые мы имеем в электродинамике. Возьмите продолжение вдоль этого вектора, вы получите прямой направленный луч. Так вот оказывается, что вдоль этого луча поле, какое бы решение не взяли, будет распространяться как электромагнитная волна, то есть с одной и той же фундаментальной скоростью. Назовем ее условно скоростью света. И в другой точке существует другое какое-то направление. Если вы зафиксировали здесь поле, вы можете быть уверены, что вы его найдете в соответствующий следующий момент времени в некоторой точке на продолжении этой прямой.

То есть, таким образом, мы получаем, что в данной модели все пространство динамически пронизано некими «световыми» или, точнее, светоподобными нитями. Эти «нити» имеют самую простую возможную структуру: они даже не искривлены, они прямолинейны. Вдоль них происходит равномерное движение поля с одной и той же универсальной скоростью.

А.Г. Количество эти нитей бесконечно?

В.К. Да, да. Это плотная структура. Где бы вы ни взяли точку, вы найдете соответствующее направление. Конечно, можно для визуализации их «разрезать», но на самом деле это плотная структура.

Что же тогда такое частицы? А частицы – это особенности, это, оказывается, те места, где эти лучи самопересекаются, «уплотняются». Это то, что нам хорошо известно из школы – это фокусы. Фокусы же могут быть не только точечные. Если вы возьмете, например, чашку с водой, то в солнечную погоду за счет отражения на этой чашке вы увидите так называемую каустику. Она будет иметь вид «полумесяца» с острием, математически так называемую эпициклоиду.

Покажите еще рисунок №6. А вот знакомая вам радуга. Это то же самое, это каустика. Если есть наблюдатель и солнце, а между ними имеется область с капельками воды, скажем, после грозы, и они, эти три точки, образуют угол в 43 градуса, то за счет внутреннего отражения от поверхности капель лучи будут затем фокусироваться, или, более строго математически, иметь некоторую малую область самопересечения – протяженный фокус или каустику. Это и будет радуга, потому что разные цвета будут немножко смещены относительно друг друга, поскольку они по-разному преломляются, имеет место явление дисперсии, и вы будете видеть не просто однородное, а окрашенное спектральное распределение. И геометрическое место всех этих точек, где угол оказывается 43 градуса, это и будут те дуги, которые видит человек после грозы.

То есть каустики – это понятие довольно привычное. Но ведь здесь этот «свет», он же невидим: это «свет», который как бы образует эфир. Но это совсем не тот эфир, против которого возражал Эйнштейн. Ведь Эйнштейн говорил что: что скорость света везде одинакова, в любой системе отсчета. И этот образованный Предсветом, как я его называю, эфир, и является как бы идеалом в этом смысле. Из какой системы отсчета на него не посмотришь, это движение будет одним и тем же. Тогда и обычная материя, наделенная всеми физическими «атрибутами» – зарядом, спином, взаимодействием, перестройками этих частиц-каустик – вся оказывается порожденной этим (пред)световым потоком. Первичный световой поток «пронизывает» все пространство, и в тех местах, где лучи пересекаются, «уплотняются», там мы имеем частицеподобные образования.

А.Г. У меня к вам следующий вопрос. А чем ваш световой поток или предсветовой поток, как вы его называете, отличается от теории физического вакуума, скажем?

В.К. Саша, теорий физического вакуума очень много. И само слово «вакуум» настолько неопределенное, что говорить об этом… Я даже не знаю, как ответить на этот вопрос.

А.Г. Мы несколько раз встречались здесь с определением, что первопричиной происхождения мира, который мы видим, была некая флуктуация физического вакуума в «абсолютном поле», которое обладает всеми свойствами материи, которое присутствует везде и всегда. При этом мы до сих пор не можем с достаточной точностью определить его физические свойства. То есть вакуум как иное состояние материи.

В.К. Вот вы сами и ответили: нет механизма. Что такое вакуум? Есть «наметки» только, какие-то рецепты, как можно учесть поправки к наблюдаемым величинам, и эти поправки связать, проговорив какие-то слова, назвать это вакуумом. В каждой теории, в каждом подходе: в традиционном – это одно понимание вакуума, в нетрадиционных (их есть много) – там другое понимание. Ведь «эфиров» тоже много. И тот эфир, который здесь получается, он совершенно отличается от эфира, который, скажем, предлагал тот же Гамильтон. Кстати, он тоже был «светоносный», этот эфир. Но этот светоносный эфир – это некая среда упругая, через которую свет распространяется, а здесь ведь совсем другое.

Здесь мы не имеем ничего, кроме (пред)света; нет ничего, кроме света. Это как в индийской философии – «Майя», иллюзия, «блики». Частицы – это блики. Но с другой-то стороны, эти блики наделяются всеми квантовыми числами, и они устойчивы топологически. То есть действительно, какие-то библейские ассоциации приходят на ум: Свет порождает Материю.

Более того. Я закончу вот чем. Наличие этих предсветовых потоков позволяет по-другому подойти к определению физического времени. Потому что ведь как мы понимаем время, как понимаем время на обывательском, скажем, уровне, на субъективном? Как некое внутреннее, скрытое, равномерное движение, которое не зависит ни от материальных процессов, ни от нашей воли. То ли что-то мимо нас течет, то ли мы «течем» в Потоке Времени. Ну, действительно, спросите любого человека, как он воспринимает время?

Ведь чем отличается время от (пространственных) координат? Мы не можем остановить это движение, мы не можем изменить себя в этом движении. А в других, пространственных координатах мы это можем сделать. Пожалуйста, пойдите вдоль этой координаты; и при этом вы будете встречать другие материальные образования. Здесь же мы совершенно бессильны. И недаром мы измеряем изменения во времени, скажем, по записи на самописце, на ленте самописца, которая равномерно движется.

Итак, если у вас есть какое-то равномерное «скрытое» движение, и это движение универсально, то только тогда мы имеем Время. А в физике этого ничего нет; только какие-то начальные свойства времени были уловлены Г. Минковским, когда он объединил пространство и время в один континуум. Но ведь это же в какой-то степени, как это часто бывает, скрыло непонимание природы времени, и мало что дало для решения проблемы времени. А здесь мы имеем как бы реализацию наших внутренних впечатлений. В каждой точке мы имеем вот этот поток первичного Света, который и есть одновременно поток Времени, потому что он равномерен, он не прекращается, он универсален, он в любой точке существует и для любого решения, какое вы ни возьмете. Можно сказать, что Время в каком-то смысле здесь оказывается одномерным и направленным. Можно, например, сказать, куда течет время вот в этой точке. Правда, это «Река» не стационарная: если сейчас оно течет сюда, то в следующее мгновение здесь будет уже другой «световой элемент», который пойдет в другом направлении. Но тот световой элемент, который был здесь, он пойдет и будет идти до тех пор, пока не встретится с другим лучом и не сформирует частицу.

А.Г. «Лучи времени» получаются? То есть видимая материя – это пересечение лучей времени?

В.К. Да, да. Можно и так сказать. Здесь вообще можно много говорить, но все это будут разные интерпретации однозначных и строгих математических результатов, которые здесь получаются. По крайней мере, первые попытки определить те свойства времени, которые каждый из нас внутренне чувствует и которые не имеют никакого адекватного выражения в физике, здесь просматриваются. И опять-таки: комплексные измерения играют здесь огромную роль. Но об этом уже, наверное, как-нибудь в другой раз…

Глубину темы, лишь в общих чертах обрисованной в обзоре, составленном на основе работ В. В. Кассандрова, хочется подчеркнуть высказываниями великих ученых:

«Может ли человеческий разум безо всякого опыта, путем только одного размышления понять свойства реальных вещей?»

«У Творца не было выбора при сотворении Мира».

«Мы хотим не только знать, как устроена природа (и как происходят природные явления), но и, по возможности, узнать, почему Природа является именно такой, а не другой». (А. Эйнштейн).

«Поразительная простота обобщения классических физических теорий… по существу основана… на введении условного символа i, равного квадратному корню из минус единицы». (Н. Бор).

«Изучение целых чисел в современной математике неразрывным образом связано с теорией функции комплексного переменного, которая… должна стать основой будущей физики». (П. Дирак).

Владимир Кассандров обращает свое внимание на новые взаимоотношения математики с естественными науками, прежде всего — с фундаментальной теоретической физикой. Эти отношения, возникающие на глазах современников, до конца еще не осознаны ни чистыми математиками, ни теоретиками, ни философами науки. По существу речь идет о (понимаемой в современном смысле) идеологии неопифагореизма, в которой математика из «служанки», понукаемой потребностями естественных наук, становится их «госпожой», диктующей истинный вид законов природы и расшифровывающей происхождение и смысл (алгебраический, геометрический, топологический) уже открытых законов.

Яркие представители этого направления, испытавшего расцвет в эпоху античности (Пифагор, Платон, Плотин), на самом деле присутствовали во все исторические периоды (У. Гамильтон, В. Клиффорд, А. Эддингтон, Г. Вейль, П. Дирак и (во второй половине жизни) А. Эйнштейн). Взгляды этих ученых не являлись господствующими в естественнонаучной среде и в философии: напротив, все основные достижения последних столетий скорее можно связать с парадигмой научного познания Галилея — Ньютона (опыт — гипотеза — опыт — закон — опыт), и нашедшей свое логическое завершение в агрессивно-позитивистской, по мнению В. Кассандрова, философии квантовой теории. Однако именно их идеи, их мечты о существовании некоего Метазакона, положенного Творцом в основу Мироздания, их глубокая убежденность в изначальном единстве мира и в нашей способности абсолютного его познания задавали тот масштаб научного творчества, сохраняли те высокие идеалы, которые не позволили безвозвратно затащить науку в болото феноменологии и голой схоластики.

Сегодня пришло время «собирать камни». Виднейшие теоретики после более чем полувекового перерыва вновь обращаются к основаниям физики, пытаясь из самых общих соображений определить и понять истинную размерность пространства-времени, происхождение Стандартной модели и безразмерные «магические числа» (константы взаимодействия и отношения масс микрочастиц и т.п.).

В математике, с другой стороны, все чаще встречаются взгляды на абстрактные структуры, естественно возникающие в рамках различных формализмов, не как на некую «игру ума», а как на объективные сущности, которые имеют прямое отношение к реальности окружающего мира. Об изменениях отношения взгляда математиков на собственную деятельность и на отношения с естественными науками свидетельствует, в частности, и известная полемика В. И. Арнольда с представителями «школы Н. Бурбаки».

Однако, несмотря на несколько более демократичную и творческую обстановку, сложившуюся в современной физике и математике, кардинального прорыва к новому пониманию природы пока не просматривается. Ныне господствующие в физике представления и парадигмы возведены в догму и считаются не подлежащими радикальному пересмотру, а лишь уточнению при непременном условии соблюдения т. н. принципа соответствия, т. е. полного восстановления прежней теории из новой в результате некоторой процедуры предельного перехода. Лишь единицы из ведущих физиков-теоретиков, «угробивших» всю жизнь на развитие общепринятого формализма, имеют мужество допустить, что этот самый формализм может не иметь ничего общего с истинным языком и законами природы.

Сейчас полностью отсутствует, по мнению В. Кассандрова, понимание того факта, что современные, общепринятые представления, концепции и уравнения в принципе не могут быть достоверны, поскольку получены естествоиспытателями в результате своего рода «мозгового штурма», в процессе поиска наилучшего описания некоторой совокупности уже установленных на опыте фактов. Вряд ли при этом ответ может быть единственным (поскольку на самом деле неизвестно, при каких условиях, «связях» ищется решение «задачи оптимизации»). Только гениальная интуиция великих мыслителей прошлого позволяет надеяться, что выработанный ими язык фундаментальной физики может в какой-то мере (и не более того!) оказаться адекватным действительному «Коду природы».

Интересно отметить, что сами творцы-создатели никогда не рассматривали обнаруженные ими новые возможности описания природных явлений как единственно верные. Например, В. Гейзенберг долгое время сомневался в матричной механике и в трактовке принципа неопределенности, А. Эйнштейн всегда был готов заменить риманову модель пространства-времени другой, в частности, геометрией абсолютного параллелизма. Далее, Поль Дирак никогда не рассматривал свое уравнение как единственно возможное описание «состояний электрона». В догму сформулированные ими гипотезы-теории возводили уже их последователи, неспособные, как правило, к генерированию собственных идей.

Психологические аспекты отрицания большинством научного сообщества возможности полной ревизии сложившихся представлений вполне понятны и в известной мере являются охранительными. В. Кассандров считает, что объективно эти взгляды именно сейчас все заметнее начинают играть реакционную роль, тормозя развитие радикально новых подходов. Дело в том, что в настоящее время внутри самой науки (как математики, так и теоретической физики) накоплен огромный потенциал идей и методов, который может оказаться основой ее внутренней революции. Физика, используя богатство новых структур, открытых современной математикой (теорию особенностей, алгебраическую геометрию и топологию, нелинейную динамику и синергетику и др.), готова совершить качественный скачок и превратиться из описательной, «констатирующей» науки в своего рода Новую Метафизику. Эта Метафизика объяснит происхождение и смысл основных структур и объектов, составляющих физическую реальность. Манифестом этого нового направления развития физики можно считать известные слова А. Эйнштейна: «… мы хотим не только знать, как устроена природа (и как происходят природные явления), но и по возможности достичь цели, может быть утопической и дерзкой на вид, — узнать, почему природа является именно такой, а не другой».

Интересно, что для автора, получившего «классическое» университетское образование, столь радикальная концепция ранее не являлась близкой. Постепенный переход к ней произошел после знакомства со структурами типа исключительных алгебр (типа алгебр кватернионов и октонионов), фрактальными отображениями, теорией особенностей и исключительными простыми группами. Богатство возможностей и внутренняя красота этих и других аналогичных структур поражают и составляют разительный контраст с теми, уже порядком «заезженными» (а часто и математически некорректными) процедурами (вариационная задача, коммутационные соотношения, интегрирование по путям), которые использует современная теоретическая физика (причем использует непоследовательно, смешивая классические геометрические и формальные квантовые представления). Сам факт существования таких исключительных абстрактных структур заставляет задуматься, не они ли лежат в основе Бытия, не в их ли внутренних свойствах закодирован алгоритм эволюции и cвойства Вселенной, вплоть до самих понятий времени, материи и сознания?

В 1980 году В. Кассандровым было предложено определение дифференцируемости функций кватернионного переменного, явно (и, по-видимому, впервые) учитывающее определяющее свойство алгебры кватернионов Q — их некоммутативность. Как следствие, Q-обобщенные уравнения Коши-Римана (ОКР) оказались существенно нелинейными. При расширении Q до алгебры B комплексных кватернионов (бикватернионов) уравнения ОКР становились лоренц-инвариантными.

Совокупность этих и других интересных внутренних свойств первичных условий ОКР наводила на естественную мысль попытаться рассматривать эти уравнения как основу некоторой единой алгебраической теории поля. Программа построения такой теории, получившей название алгебродинамики, и предварительные результаты реализации такого подхода в алгебре B были представлены.

Получилась необычная геометрическая картина физического пространства-времени и материи. К ней приводят первичные уравнения ОКР в алгебре B. Главными образующими элементами этой картины служат изотропные геодезические конгруэнции — пучки прямых в 3-мерном физическом пространстве, вдоль которых для каждого из решений уравнений ОКР происходит «перенос» основных B-полей с одной и той же фундаментальной скоростью (скоростью света). Что касается материи, то вся она порождается самими прямолинейно движущимися «световыми элементами» и представлена каустиками (т.е. местами самопересечения, «уплотнения») лучей основной конгруэнции.

Интересно рассмотреть представления о времени возникающие при рассмотрении фундаментальных световых конгруэнций, и связь этих представлений с работами других авторов. Здесь фундаментальную роль играет твисторная структура уравнений B-ОКР.

Алгебраическая теория поля на основе B-обобщенных уравнений Коши-Римана (уравнений B-ОКР). В развитой на основе B-ОКР версии алгебродинамики физические поля рассматриваются как B-дифференцируемые функции бикватернионного переменного (аналог C-аналитических функций), а сами условия дифференцируемости — как единственные первичные уравнения полевой динамики. При этом никаких дополнительных постулатов математического или физического характера не делается, т. е. свойства уравнений ОКР (обобщенные уравнения Коши-Римана) и их решений-полей изучаются сами по себе, вне какой-либо физической феноменологии!

Как ни странно, оказалось, что рассматриваемые B-поля обладают многими знакомыми из физики свойствами, например, естественной 2-спинорной и калибровочной структурами. Более того, условия интегрируемости уравнений ОКР влекут за собой тождественное выполнение уравнений Максвелла и Янга-Миллса на их решениях. Структура этих уравнений оказывается также тесно связанной с исключительной геометрией Вейля-Картана, с изотропными геодезическими конгруэнциями и, через них, — с римановыми метриками типа Керра — Шилда, определяющими основные физически важные решения уравнений Эйнштейна — Максвелла. Как следствие ОКР, каждая спинорная компонента основного B-поля удовлетворяет, кроме того, релятивистски-инвариантному уравнению 4-эйконала (нелинейному аналогу уравнения Лапласа в случае коммутативной C-алгебры).

Исключительно важную роль имеет обнаруженная связь уравнений B-ОКР с твисторами — геометрическими объектами, введенными в физику Р. Пенроузом и, нестрого говоря, представляющими собой пары 2-спиноров, связанных между собой и с точками пространства Минковского линейным образом. Наличие твисторной структуры у уравнений ОКР позволило получить их общее (аналитическое) решение, сведя их к решению чисто алгебраических уравнений, геометрически определяющих гладкие поверхности в проективном твисторном пространстве СР3.

Редукция уравнений ОКР к алгебраическим уравнениям позволила простым образом генерировать достаточно сложные их решения, а также и сопоставляемые им решения известных уравнений поля, в том числе уравнений Максвелла, Эйнштейна и Янга-Миллса. При этом сингулярности электромагнитного и метрического полей соответствуют точкам пространства-времени, в которых корни генерирующих алгебраических уравнений становятся кратными. Причем структура сингулярного множества может быть весьма сложной, состоящей из большого числа связных компонент разных размерностей (пространственно 0-, 1- или 2-мерных); множество общего положения — одномерно («струны»).

Такая общая для всех основных полей, определяемых решениями ОКР, сингулярная структура в случае ее ограниченности в 3-пространстве естественно определяет некоторый частице подобный объект, а динамические перестройки этой структуры могут интерпретироваться как взаимопревращения частиц. При этом никаких трудностей принципиального характера (расходимостей, нарушений причинности и т.п.), связанных с сингулярным характером отвечающих частицам решений уравнений ОКР, в рассматриваемом подходе не возникает, поскольку как «форма» сингулярного образования, так и его динамика однозначно следуют из самих уравнений ОКР.

Еще одним определяющим свойством исходных уравнений ОКР является их существенная переопределенность. Как следствие этого, далеко не каждое решение уравнений Максвелла или Янга-Миллса отвечает какому-либо решению для первичных B-полей. На этом пути возникают некие «правила отбора» для типов и характеристик решений уравнений калибровочных и метрического полей, ассоциированных с решениями уравнений ОКР. В частности, для всех решений допустимые значения электрического заряда сингулярных образований либо равны по модулю некоторому минимальному (элементарному), либо цело кратны ему!

Отметим, что идея объяснить дискретный спектр характеристик частиц как следствие переопределенности и нелинейности описывающих их классических уравнений поля принадлежит, судя по всему, А. Эйнштейну. Эта идея получила название сверхпричинности. В рассматриваемом подходе концепция сверх причинности проявляется не только в квантованности значений электрического заряда, но и в нетривиальной динамике сингулярных частице подобных образований, моделирующей их взаимодействие и взаимопревращения. Действительно, несмотря на тождественное выполнение линейных уравнений Максвелла во всем пространстве-времени (кроме сингулярного подмножества меры нуль), принцип суперпозиции здесь, разумеется, не выполняется в силу нелинейности и переопределенности исходных уравнений ОКР. Заметим, что в отличие от стандартных схем типа нелинейной электродинамики мы имеем здесь ситуацию, близкую к концепции т. н. «скрытой нелинейности», развиваемой в ряде современных работ.

Фундаментальное (стационарное, аксиально-симметричное) решение уравнений B-ОКР (модель электрона?) имеет кольцеобразную сингулярность и отвечает наименьшему возможному (элементарному) электрическому заряду, а в остальном является полным аналогом решения Керра — Ньюмена (КН) в ОТО (Общей Теории Относительности). Из сопоставления с ним это решение наделяется массой и спином, причем из ОТО известно, что гиромагнитное отношение для решения КН имеет значение, соответствующее дираковской частице! Т.о. решение КН (Керра — Ньюмена) правильно воспроизводит все основные характеристики электрона, а в нашем подходе к тому же фиксирует значение его заряда.

Примеры нетривиальной топологической структуры и динамики сингулярных частице подобных образований обсуждались в научных работах. Помимо фундаментального «керровского» было найдено, в частности, бисингулярное решение с ЭМ-полем (Электро — Магнитным), воспроизводящим известное решение Борна для равноускоренно движущегося заряда (величина которого, однако, здесь квантована и равна заряду фундаментального решения!). Особенный интерес представляет его комплексная, электрически нейтральная модификация с кольцеобразной сингулярностью, перестраивающейся в тор. Обнаружены также решения, не обладающие аксиальной симметрией. Заметим, что к настоящему времени уже получены решения с намного более сложной, много сингулярной структурой, явным образом и на классическом уровне описывающие процессы аннигиляции, рождения пар, поглощения/испускания сингулярных волновых фронтов, процессы «распада».

В завершение краткого обзора основных полученных к настоящему времени результатов подчеркнем еще раз, что все они являются непосредственным следствием одной лишь структуры уравнений B-ОКР и имеют чисто алгебраическую природу. Однако, с другой стороны, свойства и роль, возникающих в алгебродинамике аналогов известных физических структур, существенно и неожиданно отличаются от этих последних. Помимо необычной роли уравнений Максвелла («нелинейность без нелинейности») и обнаружения у них широкого класса сингулярных решений с автоматически квантованными (за счет механизма «скрытой нелинейности») значениями заряда можно еще отметить:

а) новый вид калибровочной инвариантности, имеющей место для уравнений ОКР (т.н. «слабой», с калибровочным параметром, зависящим от координат лишь через компоненты преобразуемого решения);

б) новую форму представления уравнений Максвелла через т. н. условия «комплексной самодуальности», сводящие их решение к решению 3-х уравнений 1-го порядка по электромагнитным потенциалам;

в) новую концепцию источников физических полей, связанную с рассмотрением сингулярностей полей как точек ветвления отвечающих им (производящих) многозначных комплексных функций и обобщающую принятую в настоящее время концепцию d-образного источника.

Все эти неожиданные и интересные физические представления в алгебродинамике не привносятся извне, а генерируются внутренними свойствами самой абстрактной математической структуры, положенной в основу рассмотрения. Мы вернемся к рассмотрению этих вопросов в заключительном разделе, а теперь перейдем к несколько более подробному обсуждению представлений о свете и материи и времени, возникающих при анализе свойств и решений уравнений B-ОКР.

Вообще в физике уже почти 100 лет имеет место парадоксальная ситуация, когда с одной стороны, основным объектом исследования остается модель точечной d-образной частицы, ответственная, как принято считать, за все трудности квантовой теории поля (расходимости, нарушения причинности и т.п.). С другой стороны, методы работы с сингулярными объектами, принятые в физике, оказались совершенно некорректными, как это становится очевидным по мере развития, например, теории катастроф. В частности, оказалось, что само понятие источника поля, определяемое в физике через обобщенные d-функции, является далеко не самым общим и физически интересным: современная теория дифференциальных уравнений приводит вместо этого к неизбежному введению глобально многозначных решений, являющимся для нелинейных уравнений естственным аналогом решений, представляемых обобщенными функциями. Отметим, что в рамках развиваемого алгебродинамического формализма многозначные решения возникают изначально как различные ветви комплекснозначных решений неявного алгебраического уравнения.

Попытки рассматривать частицы как особенности решений дифференциальных уравнений, в том числе уравнений Максвелла, предпринимались еще в начале века, в частности Г. Бейтманом. Л. де Бройль пытался дать классическое объяснение корпускулярно-волновому дуализму частиц в рамках своей концепции «двойного решения» (особенность, движение которой «гидируется» регулярной и стохастически изменяющейся частью полевого распределения). В последнее время концепция частиц как особенностей развивается А. М. Виноградовым в рамках т. н. «вторично квантованного» дифференциального исчисления.

Именно на каустиках, т. е. «протяженных фокусах», обращается в бесконечность напряженность электромагнитного поля, и, таким образом, именно (ограниченные в пространстве) каустики являются моделью частиц в данном подходе, обладая квантованным электрическим зарядом и динамикой, определяемой видом регулярной части соответствующей световой конгруенции. Естественно предположить, что в таком случае известная классификация каустик как особенностей дифференцируемых отображений может иметь непосредственное отношение к классификации элементарных частиц!

На самом деле представление о зарядах как о фокальных точках некоторых световых конгруенций возникает уже в классической электродинамике. Действительно, поле движущегося по некоторой траектории точечного заряда (потенциалы Лиенара-Вихерта) генерируется «кулоновским» полем этого заряда в предшествующем его положении, распространяющимся с фундаментальной скоростью и достигающим точку наблюдения к данному моменту времени. Более того, конгруенции, образуемые световыми конусáми излучения заряда, составляют специальный класс т. н. бессдвиговых изотропных конгруенций и могут быть все получены как решения конкретного алгебраического уравнения.

Эта конструкция допускает важное обобщение. Оказывается, что большое число физически важных решений возникает при формальном рассмотрении точечного заряда, движущегося по некоторой комплексной кривой в полном комплексифицированном пространстве Минковского CM. Комплексный световой конус «излучения» такого заряда образует на вещественном срезе CM — физическом пространстве-времени световые конгруенции, каустики которых имеют уже не точечную, а гораздо более сложную структуру (состоящую в общем случае из большого числа связных компонент различных размерностей).

Основные принципы «неопифагорейского» подхода к построению физических теорий. Чисто абстрактная математическая структура (в данном конкретном случае — структура «аналитических» функций в алгебре комплексных кватернионов B) однозначно ведет к представлениям о некотором мире локализованных (в «предпространстве») и изменяющихся (в «предвремени») сингулярных частице подобных образований. Во многих отношениях этот виртуальный мир, целиком закодированный в единственном инвариантном 4-х символьном соотношении (1), удивительно напоминает реальный. Более того, возникающие при рассмотрении этого соотношения вторичные математические структуры (твисторная, калибровочная, самодуальная, риманова, струнная и т.п.) оказываются как раз теми фундаментальными структурами, которые используются в современной теоретической физике для описания наблюдаемых свойств элементарных частиц и их взаимодействий. Аналогичным образом и характеристические уравнения этих структур, возникающие как прямое следствие первичных уравнений В-дифференцируемости, представляют собой в основном известные уравнения физических полей.

Однако, отношения между этими структурами и их внутренние связи оказываются далеко не тождественными известным из формализма квантовой теории и ОТО, а во многих случаях представляются совершенно неожиданными, математически красивыми и более адекватными наблюдаемой физике (как, например, в случае естественно возникающего квантования электрического заряда). Тем самым, внутренняя структура исходных уравнений, казалось бы, не предполагающая никакой связи с физической реальностью, открывает совершенно новые возможности для ее описания даже в рамках общепринятой гносеологической парадигмы.

Пока что, разумеется, нет оснований, считать, что рассмотренная модель — это «истина в последней инстанции», дающая полное и описание физической реальности на основе единого общего принципа, т. е. что, иначе говоря, наш Мир есть комплексно-кватернионное многообразие с динамикой, полностью определенной структурой аналитичности в этой алгебре. Более того, требование аналитичности или даже гладкости является весьма жестким ограничением с точки зрения математики и, возможно, должно быть исключено вообще. Однако, как пример возможностей принципиально нового подхода к построению физических теорий рассмотренная реализация может считаться вполне успешной и даже впечатляющей. На этой основе можно в заключение и сформулировать главные принципы общей «неопифагорейской» программы в том виде, как она представляется в настоящее время.

1. В основе Природы лежит некоторый первичный Принцип (Код, Алгоритм, Метазакон), имеющий чисто абстрактное математическое происхождение. Все известные т. н. «законы природы», полученные из эксперимента, либо являются прямыми следствиями этого единственного исходного принципа либо вообще не имеют отношения к правильному описанию природы и лишь случайно приближенно выполняются при определенных условиях.

2. В современных условиях новые эксперименты мало, что могут добавить к нашему пониманию окружающего мира. Фундаментальные законы природы следует изучать не в лаборатории (в экспериментах с частицами), а главным образом «на бумаге» (ставя «эксперименты» над самими математическими структурами (В. И. Арнольд)). При этом, может оказаться, что господствующие физические теории и представления (даже такие красивые, как ОТО) не имеют никакого отношения к реальности, и о принципе соответствия в принятом в настоящее время смысле вообще придется забыть.

3. В основании первичного Принципа и, как следствие, устройства Вселенной лежит некоторая объективно существующая математическая структура (скорее всего, числовая или/и логическая), исключительная по своим внутренним свойствам. Вселенная представляет собой своего рода реализацию («материализацию») этой первичной структуры.

4. Каждая математическая структура является в каком-то смысле объективно существующей и соответствует некоторому отвечающему только ей «миру». Однако большинство таких структур и соответствующие им «миры» являются, скорее всего, вырожденными. Только одна уникальная структура кодирует наш мир вплоть до структуры возникающего в нем наблюдателя (это есть своего рода математическая версия известного антропного принципа), и задача состоит в ее нахождении и исследовании. Тем не менее, нельзя исключить, что существует несколько (или даже бесконечно много) исключительных структур, генерирующих «параллельно сосуществующие» миры. На сегодняшнем уровне понимания говорить об их возможных взаимоотношениях (взаимодействиях) преждевременно.

5. Одним из признаков уникальности и невырожденности первичной структуры является, по-видимому, множество эквивалентных способов (разнообразие языков) ее описания. Например, исключительная алгебраическая структура, положенная в основу «метатеории», должна порождать исключительную геометрию пространства-времени, соответствовать уникальной топологии, иметь необычную группу автоморфизмов и т.п. При этом, наоборот, можно исходить из любой из вышеперечисленных структур, индуцирующих остальные свойства. Первичная фундаментальная структура есть некоторая абстрактная сущность, допускающая большое количество эквивалентных математических описаний и соответствующих им физических интерпретаций.

6. При выборе кандидата на роль первичной структуры нельзя ограничиваться известным и используемым в физике набором (дифференциальные уравнения, расслоенные пространства, риманова геометрия и т.п.). Не следует навязывать природе своих физических представлений (пространство-время как многообразие, калибровочные поля как переносчики взаимодействий, корпускулярно-волновой дуализм и вероятностная квантовая парадигма и т.п.). Только не связывая себя заранее догмами ортодоксальных теорий можно надеяться обнаружить принципиально новые, истинные способы описания природы, закодированные в первичной структуре. В шутку можно сказать, что законы Природы должны открывать математики, не знающие физики. Говоря же всерьез, следует опираться только на наиболее общие и неконкретные свойства окружающего нас Мира — например, на факт существования нескольких классов тождественных по внутренним свойствам объектов (частиц, кварков, субкварков — не важно!), обладающих способностью к объединению (слиянию, взаимодействию) и образованию иерархий по отношению к разным пространственно-временным масштабам.

7. Изначально имеет смысл предполагать также, что первичная физика должна быть существенно нелокальной, и именно глобальные свойства пространства-времени и глобальную динамику должна в первую очередь кодировать первичная структура! Действительно, существующая локальная физика возникла просто как результат ограничения человеческой практики и экспериментов чрезвычайно малыми по размерам и длительности областями. С точки зрения математики и философии общего «пифагорейского» подхода очевидно, что основным языком физики должен быть язык топологии, отображений и функциональных уравнений.

8. После выбора кандидата на роль первичной структуры ее анализ, прочтение ее свойств должно проводиться жестким дедуктивным путем и, в частности, исключить всякую возможность введения в схему феноменологических, подгоночных параметров для лучшего описания наблюдаемых закономерностей. В противном случае мы никогда не поймем истинный язык Природы! Математические свойства положенной в основу первичной структуры должны быть прослежены до такой стадии, когда физическая интерпретация возникающих абстрактных структур и характеристических уравнений станет самоочевидной (хотя, возможно, и не единственной). При отсутствии возможности естественной идентификации внутренних свойств структуры с физической реальностью следует не «улучшать» или «добавлять», а полностью менять исходную структуру и повторять исследования с другим кандидатом.

Предлагаемый в работах В. В. Кассандрова радикально новый подход к построению физических теорий на первых порах может оказаться практически малоэффективным и неблагодарным. Действительно, даже «угадав» исключительную первичную структуру, положенную в основу мироздания (а, скорее всего, лишь приблизившись к ее пониманию), трудно надеяться сразу же воспроизвести всю эффективную феноменологию описания природы, которая была создана (и продолжает созидаться, в том числе в рамках парадигмы суперструн) поколениями выдающихся ученых, в частности, понять происхождение Стандартной модели. Трудно сразу же вывести из абстрактной схемы превосходящую ее по эффективности описания альтернативную модель. Не следует, поэтому, на первых порах и требовать от подобных общих подходов каких-то новых предсказаний, проверяемых экспериментально. Всему свое время. Однако, глубокое убеждение, основанное на уже реализованной и представленной выше алгебродинамической схеме, состоит в том, что именно понимаемая в современном смысле и не имеющая ничего общего с примитивной нумерологией «пифагорейская» философия позволит совершенно по-новому взглянуть на природу физических законов и на роль фундаментальной математики в их структуре.

1. Арнольд В. И. Теория катастроф. М., 1990
2. Арнольд В. И. Математика и физика: мать и дитя или сестры?//Успехи физических наук. 1999. Т. 169. № 12
3. Владимиров Ю. С. Метафизика. М., 2002
4. Дирак П. А. М. Отношение между математикой и физикой//П. А. М. Дирак. К созданию квантовой теории поля/Под ред. Б. В. Медведева. М., 1990
5. Ефремов А. П. Кватернионный подход к описанию относительного движения/К 200-летию Н. И. Лобачевского. М., 1994
6. Ефремов А. П. Основы кватернионной теории относительности. Кинематика Инерциальных систем отсчета//Вестник РУДН. Сер. Физика. 1995. № 3. Вып. 1
7. Кассандров В. В. Алгебраическая структура пространства-времени и алгебродинамика. М., 1992
8. Кассандров В. В. Алгебродинамика: кватернионы, твисторы, частицы//Вестник РУДН. Сер. Физика. 2000. № 8. Вып. 1
9. Кассандров В. В. Число, время, свет//Математика и практика. Математика и культура/Под ред. М. Ю. Симакова. М., 2001. Вып. 2
10. Кулаков Ю. И. Элементы теории физических структур. Новосибирск, 1968
11. Симаков М. Ю. Пифагорейская программа. М., 1997
12. Уилер Дж. Предгеометрия как исчисление высказываний/Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация. Бишкек, 1997. Т. 3
13. Эйнштейн А. Физика и реальность. М., 1965
14. Эйнштейн А. Собр. Соч.: В 4-х т. М., 1967
15. Eddington A. S. Fundamental Theory. N.Y., 1946
16. Kassandrov V. V. Conformal mappings, hyperanaliticity and physical fields // Acta Applicandae Mathematicae. 1998. V. 50
17. Penrose R. Shadows of the Mind. Oxford, 1994
18. http://www.chronos.msu.ru/