Неприводимые спиноры высших рангов

Бурланков Дмитрий Евгеньевич, This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.

к.ф.-м.н., доцент кафедры Информационных технологий в физических исследованиях Физического факультета НHГУ им. Н.И. Лобачевского.

Многочастичные задачи квантовой механики привели к задачам о сложении моментов, разложение произведения спиноров на неприводимые компоненты.

Например, хорошо известно, что произведение двух спиноров со спином 1/2 (число компонент 2 x 2 = 4) образует сумму объектов со спином 0 (скаляр – 1 компонента) и спином 1 (3 компоненты).

Спиноры ранга n определяются матрицами n x n. Набор матриц Паули определяется матрицами повышения и понижения.

Повышающие и понижающие матрицы n-спиноров имеют специфический вид, например, при n = 4

Они порождают три матрицы:

коммутационные соотношения которых:

Спиновые матрицы определяют оператор полного момента:

с такими же коммутационными соотношениями.

Спиновый оператор момента количества движения

коммутирует с каждой компонентой {J^x_n, J^y_n, J^z_n}.

В сферической системе координат подвижный репер cⁱ_n определяет оператор Паули ранга n:

Оператор J^z_n является первым оператором, определяющим базис в пространстве n-спиноров. n-спинор представляется n-мерной строкой и как собственный вектор оператора J^z_n при малых n имеет вид:

Они являются собственными функциями оператора Ĵ^z_n:

Универсальным методом построения спинорного базиса является поиск спинора с максимальным m = l, действие на который оператором повышения дает нуль.

Базовый n-спинор w^jj_n удовлетворяет двум операторным уравнениям

Так как оператор Ĵ⁺_n является дифференциальным оператором первого порядка базовый спинор содержит n произвольных констант. Ими можно распорядиться так, чтобы базовый спинор являлся собственным вектором оператора спинового момента Ĵ_n.

Важнейшим оператором, определяющим структуру спиноров, является оператор спинового отражения Rˆn, квадрат которого является единичным оператором, и он раскладывает любой спинор на четную составляющую (с собственным значением этого оператора +1) и нечетную (с собственным значением -1).

Он антикоммутирует с оператором Паули, поэтому результатом действия оператора Паули на спинор определенной четности является спинор противоположной четности.

Это определяет специфику спинорных уравнений (произвольного ранга): система уравнений должна содержать четное число операторов Паули, как это происходит в ставшем уже стандартным уравнении Дирака для атома водорода.

Разработанная техника приближает решение задачи о квантовом описании атома водорода как связанного состояния двух спинорных частиц конечных масс: протона и электрона.

Текст аннотации в формате PDF