Аннотация

Введение. Задачей настоящей статьи является возможный философский взгляд на математическую реальность с эвристических позиций, направленный в будущее науки. Взгляд на эту единую реальность «изнутри математики» может быть дополнен взглядом на неё «извне математики».

Методы. Мы показали, что на числовой прямой между двумя рациональными числами, обязательно находится среднее арифметическое этих чисел, которое не учитывается при допущении актуальной бесконечности множества знаков периодической дроби. Необходимо допустить: число 1 записывается однозначным образом (т.е. как 1,000...) только в случае потенциальной бесконечности знаков дроби 0,999... Допущение потенциально бесконечного множества знаков справедливо обобщить на все периодические дроби. При этом отсутствуют логико-математические основания полагать, что всякая непериодическая дробь имеет последний знак и является конечной.

Основные идеи исследования, полученные результаты и их обсуждение. Нами установлено, что Дедекиндово сечение числовой прямой, реализуемое иррациональным числом, производится сразу и без пробелов, потому что непериодическая дробь актуально бесконечна. Иррациональное число производит сечение континуума без пробела, потому что и иррациональное число, и континуум актуально бесконечны. Потенциально бесконечный процесс сечения континуума рациональным числом, связанный с пробелом, никогда не может завершиться. Сечение, реализуемое рациональным числом, никогда не заканчивается потому, что периодическая дробь потенциально бесконечна.

Заключение. Впервые предложены достаточные логические основания гипотезе, что периодическая дробь – потенциально бесконечна, а непериодическая дробь – актуально бесконечна.

Ключевые слова: континуум, потенциальная и актуальная бесконечность, счетное и несчетное множество, мощность множества.