Введение – / 4 /

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ: КВАТЕРНИОННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Глава 1. Предварительные математические сведения – / 9 /

Глава 2. Кватернионный базис – / 21 /

Глава 3. Векторные кватернионные пространства – / 51 /

ЧАСТЬ ВТОРАЯ КВАТЕРНИОННЫЕ ПРОСТРАНСТВА В ФИЗИКЕ

Глава 4. Уравнения механики Ньютона в кватернионном базисе – / 75 /

Глава 5. Кватернионные релятивистские системы отсчета – / 88 /

Глава 6. Физические проявления кватернионных структур – / 158 /

Заключение – / 202 /

Список литературы – / 206 /

Создание алгебры кватернионных чисел заслуженно связывается с именем Уильяма Роуэна Гамильтона, который в 1843 г. окончательно сформулировал правило умножения четырех базисных единиц алгебры (Обзор истории создания и развития кватернионного исчисления приведен в работе [1]). Известно, однако, что некоторые соотношения кватернионной алгебры рассматривались еще в XVIII веке Л.Эйлером и К.Гауссом [2], [3], а в 1840 г. О.Родригес, исследуя кинематику твердого тела, записал выражение, сходное с правилом умножения кватернионов [4], [5]. Во всех случаях эти ученые приходили к кватернионным соотношениям, основываясь на модельных структурах механики и трехмерной геометрии.

У.Гамильтон был, видимо, первым, кто поставил перед собой задачу построения именно математической структуры – столь же самосогласованной и завершенной, как и алгебра комплексных чисел, но – не на двумерной поверхности, а в некотором пространстве. Как известно, эта задача была успешно решена, но результат вышел весьма неожиданным. Умножение чисел новой алгебры оказалось некоммутативным, ее базисные единицы были связаны между собой серией нелинейных соотношений. Более того, число единиц оказалось равным четырем, то есть размерность искомого пространства на единицу превысила размерность привычного по опыту физического пространства конфигураций. Наконец, возникла дилемма определения кватернионных коэффициентов: ими могли быть как действительные, так и комплексные числа, хотя последние, вообще говоря, алгебру несколько ухудшали (не всегда определялась норма числа, пропадала общность деления).

Родившийся новый математический объект – кватернионная алгебра – вызвал большой энтузиазм и не меньшую озабоченность, прежде всего, у его автора. В главных работах У.Гамильтона [6], [7] с очевидностью прослеживаются две цели:

- разобраться в геометрической (если угодно – в физической, в те времена – в механической) сущности кватернионов,

- передать читателям, ученикам представление (не исключено, что интуитивное) об их безусловной важности для последующего развития и эксплуатации точных наук.

Ни одна из этих целей автором, да и его учениками достигнута не была, несмотря на то, что Гамильтон остаток своей жизни, по сути, посвятил изучению и пропаганде кватернионов (Как и Эйнштейн – почти 40 лет после создания им теории относительности безуспешно пытался создать на ее базе единую теорию поля). Объект оказался слишком сложным для своего времени. Несмотря на усилия последователей Гамильтона, в первую очередь, П.Г.Тэта [8] и даже на тот факт, что именно на языке кватернионов Дж.Максвелл впервые записал свои уравнения электродинамики [9] и понимал это исчисление как некую «универсальную арифметику» [10], в математике и физике весьма скоро возобладала более практичная, но иная в своей основе и несколько эклектичная векторная алгебра Д.Гиббса и О.Хэвисайда; кватернионное исчисление отодвинулось на второй план.

Не слишком многого удалось достичь и в понимании геометрической сущности кватернионов, хотя то, что в этой математике лежит на поверхности, было замечено сразу: «специальные кватернионы» – «мнимые» кватернионные единицы – уже Гамильтоном однозначно связывались с триадой направляющих векторов декартовой системы координат. Собственно, это было и все. Даже ставшая довольно быстро знаменитой кватернионная методика расчета векторных поворотов явилась, всего лишь технологическим инструментом, действующим, скорее, загадочно (потому что так получается!), нежели детально проанализированным. Да и в дальнейшем кватернионы использовались более как математический аппарат, удобный (а иногда и искусственно подгоняемый) для решения математических и физических задач.

Анализ литературных источников создает впечатление, что исследование собственно математики кватернионов как таковой, в том числе ассоциированной геометрии, в конце XIX века, по существу, остановилось. Значимыми этапами этого периода явились работы К.Клиффорда (включившие изучение комплексных кватернионов, или бикватернионов; см., например, [11]), а также доказательство теорем Фробениуса-Гурвица (подробное изложение дано в работе [12]) об исключительности – в смысле «хорошего» определения действий над числами – алгебры кватернионных чисел и следующей по размерности алгебры октав.

Дальнейшее исследование кватернионов не было отмечено сколь либо значимыми событиями, несмотря на то, что интерес к ним определенно сохранялся. В начале XX века в Европе даже было создано «Международное общество содействия изучению кватернионов». Оно просуществовало до начала первой мировой войны, после чего по известным причинам распалось. Последовавшее вскоре бурное развитие экспериментальной физики потребовало привлечения множества различных математических аппаратов для описания наблюдаемых явлений. Целенаправленная разработка методов описания распространения полей, квантовых и статистических явлений не способствовала углублению понимания «старого» и «неудобного» аппарата кватернионной алгебры. Даже Э.Картан, один из основоположников теории подвижного репера, оставил без внимания отмеченную еще Гамильтоном возможность использования триады «специальных кватернионов» в качестве пространственной составляющей системы отсчета.

В начале XX века публикации, связанные с кватернионами, носят, в основном прикладной характер. Известны работы по теории винтов А.Котельникова [13] и Э.Штуди [14]; рядом авторов была предложена эквивалентная кватернионная формулировка четырехмерной специальной теории относительности Эйнштейна-Минковского [15].

Существенный, с точки зрения понимания структуры кватернионов, шаг был сделан только в 1927 году В.Паули. Для описания в уравнениях квантовой механики только что открытого спина электрона Паули использовал три ныне знаменитые матрицы, которые являются ни чем иным, как (с точностью до множителя) одним из представлений неабелевых единиц, самым тесным образом связанных с базисом кватернионных векторов. Другой интересный результат, предваренный исследованиями К.Ланцоша [16], через несколько лет был получен Р.Фютером в процессе построения теории функций кватернионного переменного. Выяснилось, что записанные по аналогии с уравнениями Коши-Римана условия аналитичности векторной кватернионной функции, будучи записанными в стандартной векторной форме, имеют вид вакуумных уравнений электродинамики [17].

В отличие от работ Паули и Фютера, в определенном смысле продолжающих линию развития кватернионной математики, авторы подавляющего большинства последующих публикаций, вплоть до последнего времени, либо по-прежнему используют аппарат кватернионной алгебры в сугубо прикладных целях (например, [18], [19]), либо привязывают специфику кватернионов к стереотипам, сложившимся в современной математической физике [20] – [22]. В то же время вряд ли можно с определенностью утверждать, что алгебраические и аналитические свойства самих кватернионов, сопутствующих им величин, а также ассоциированная геометрия на сегодняшний день уже изучены и описаны во всей полноте. Первая проблема связана с множественностью представлений базисных единиц алгебры. Практически не исследовались вопросы существования допустимых видов и классов представлений и тем более – внутренней структуры «специальных кватернионов», оставалась в стороне тема инвариантности кватернионного умножения, а также величин, существенных для решения прикладных задач, – кватернионных и бикватернионных векторов. Для последних не были определены условия существования нормы. Наличие этих пробелов теории имело своим следствием тот факт, что, несмотря на обилие исследований, посвященных описанию систем отсчета в искривленных пространствах (см. например, [23] – [25]), базисная кватернионная триада ранее не рассматривалась в качестве чрезвычайно удобного – недеформируемого – подвижного репера. Введение же такого репера, как выясняется, позволяет логически естественно придти к определению специфических несимметричных метрик и введению понятия кватернионных пространств. Стоит заметить, что некоторые аналоги таких пространств из чисто эмпирических соображений вводились, начиная с Эйнштейна [26], рядом авторов, исследовавших возможность построения обобщенных теорий гравитации и вариантов единой теории поля [27].

С другой стороны, в математической физике сложилась целая мозаика так называемых «кватернионных совпадений», начиная с упомянутой выше первой – кватернионной – записи уравнений Максвелла, и последовавшими за этим через многие десятилетия многочисленными фактами естественного появления кватернионов: в квантово-механических уравнениях Паули, в условиях аналитичности Фютера, в описании кинематики твердого тела. Здесь стоит подчеркнуть: именно «естественного появления»; то есть не намеренного использования аппарата кватернионного исчисления (может быть, в методических целях), но неизбежного возникновения математических соотношений, свойственных математике кватернионов. Наличие таких проявлений в казалось бы совсем разных областях физической теории заставляет задуматься о неслучайном характере этих проявлений и о существовании некой взаимосвязи между указанными областями. Тем более что практика многолетних исследований всего комплекса науки о кватернионах показала: список «совпадений» в действительности оказывается значительно шире.

Нелишне заметить, что в последние годы интерес к кватернионам вновь существенно возрос. Этими гиперкомплексными числами сегодня занимаются не только отдельные ученые и исследователи [28] – [32] но и целые коллективы; вновь начали создаваться группы и сообщества по изучению кватернионов, издаются специализированные научные журналы, в сети интернет открываются страницы и сайты, посвященные этой тематике (см., например [33]). Прилив интереса к новым для сегодняшнего поколения (а по сути – забытым старым) математическим направлениям и методам, наверное, связан и с увеличением числа хорошо информированных специалистов в области математики, но не в последнюю очередь – и с очевидной приостановкой прогресса (если не с кризисом) в теоретической физике.

В связи с вышесказанным данная работа, в которой, с одной стороны, приведен ряд оригинальных результатов исследования собственно кватернионной математики, прежде всего, геометрии, а с другой – предложен логически обоснованный вариант системного анализа взаимосвязи этой геометрии с различными направлениями математической физики, представляется весьма своевременной.

Работа состоит из двух основных частей и организована следующим образом.

Первая часть носит чисто математический характер и содержит исследования алгебры и геометрии кватернионов и ассоциированных объектов.

Первая глава является математическим введением. В ней весьма кратко – для справки – изложены сведения об алгебраических и геометрических свойствах комплексных и кватернионных чисел, основные математические соотношения приведены в традиционной записи.

Во второй главе детально исследуется множества представлений и правило умножения базисных единиц кватернионной алгебры (записанное в компактной тензорной форме), определяются группы преобразований «мнимых» единиц – «специальных кватернионов», оставляющие правило умножения форм-инваринтным. С помощью аппарата нормированных собственных функций устанавливается составная природа (наличие внутренней математической структуры) векторов базисной триады и формулируется правило проецирования произвольных матричных векторов на выбранное направление. Постулируется фундаментальная значимость тройных пар кватернионных собственных функций, и выписываются все составленные их них численные инварианты. Локализацией параметров триад кватернионных единиц, последние представляются в виде операторов-функций и приобретают характер жесткого (недеформируемого) репера. Задается правило дифференцирования такой триады, дается определение собственной кватернионной связности с геометрической и физической интерпретацией ее компонент. Приводятся конкретные примеры подвижных кватернионных реперов и демонстрируется бескоординатный матричный метод задания гладких пространственных кривых.

Третья глава посвящена кватернионным пространствам. В качестве предварительного шага формулируется процедура построения кватернионного пространства, касательного в любой точке к базе – дифференцируемому многообразию (или пространству) произвольной размерности. Затем вводится понятие собственно кватернионного трехмерного пространства, имеющего специфическую метрику, симметричная часть которой скалярна и в простейшем случае представлена метрикой Евклида, а антисимметричная часть является оператором (в простом представлении содержит бесследовую матрицу-вектор). Подробно обсуждается отличие кватернионного пространства от пространств с «абелевыми» метриками. Проводится стандартный анализ «внутренних» свойств и дифференциальных характеристик кватернионного пространства как пространства аффинной связности, а также «внешних», чисто кватернионных его свойств и характеристик, последнее – с использованием формализма дифференциальных форм и уравнений структуры. В процессе анализа определяется ряд дифференциальных характеристик различной природы (тензоры кривизны, тензоры кручения и неметричности); на этой базе предлагаются варианты классификации кватернионных пространств, начиная от самого общего, содержащего все величины до простейшего, не содержащего ни одного из дифференциальных геометрических объектов.

Вторая часть работы посвящена анализу естественного применения и возникновения кватернионов в различных разделах математической физики как проявления свойств кватернионных пространств, принадлежащих к различным типам введенных в первой части вариантов классификации.

В четвертой главе исследуются ньютоновские уравнения классической механики в кватернионных пространствах, представленных триадами реперов, параметризованных действительными функциями времени нерелятивистского наблюдателя. При этом показано, что свойство форм-инвариантности кватернионных векторов относительно группы действительных вращений логически естественно и математически компактно приводит к динамическому уравнению для тела в любой как угодно сложно вращающейся системе отсчета. Разработан удобный и наглядный метод решения таких уравнений – метод следящего базиса; в методических целях он применен для решения ряда задач механики.

В пятой главе рассматриваются кватернионные пространства, представленные реперами с комплексными параметрами; исследуются условия форм-инвариантности возникающих при этом бикватернионых чисел. В пространствах такого типа формулируется особый математический аппарат (задание пространственно-временных бикватернионных векторов специального вида), с помощью которого удается развить оригинальную методику моделирования и расчета релятивистских эффектов – «кватернионную теорию относительности». Математически и геометрически эта теория отлична от специальной теории относительности Эйнштейна, но она предсказывает все те же эффекты и, более того, позволяет решать релятивистские кинематические задачи в неинерциальных системах отсчета. Разработана схема решения таких задач с помощью уравнений смешанных (действительных и гиперболических) поворотов; с ее помощью представлен простой (в сравнении с методами СТО) вывод эффектов гиперболического движения и прецессии Томаса, а так же решен ряд новых кинематических задач. В частности, точно решена задача кинематики для релятивистского гармонического осциллятора и предсказан в принципе наблюдаемый эффект наблюдаемого с Земли релятивистского сдвига положения спутников планет Солнечной Системы. В рамках предложенной теории разработаны элементы динамики, записан вариант релятивистских уравнений задачи двух тел и даны решения ряда конкретных задач (движение заряженной частицы в магнитном поле и движение в поле центральной силы).

Шестая глава посвящена исследованию пространств, кватернионная специфика которых проявляется в виде физических взаимодействий. Так, в простейшем «евклидовом» кватернионном пространстве предложен простой вывод гамильтониана уравнения Паули, при этом показано, что именно кватернионная структура является ответственной за появление спина заряженной квантово-механической частицы, движущейся во внешнем магнитном поле. Проведен развернутый анализ уравнений космологических решений теории гравитации обобщенной на тот случай, когда трехмерным пространственным сечением четырехмерного пространства-времени являются кватернионные пространства различных типов: содержащие собственную кватернионную связность (и родственное кручение) и содержащие кватернионную неметричность. Найден ряд точных решений, описывающих стационарные сферически и цилиндрически симметричные модели. Установлено, что тензор кривизны четырехмерного пространства-времени (с кватернионным сечением и чисто кватернионной неметричностью) формально эквивалентен тензору напряженности поля Янга-Миллса. При этом кватернионная неметричность является потенциалом напряженности, а уравнения поля следуют из вариационной процедуры для действия, лагранжианом которого служит простейший квадратичный инвариант кривизны рассматриваемого пространства. Подробно изучены условия Фютера и их связи с вакуумными уравнениями Максвелла, предложен непротиворечивый вариант их обобщения на случай комплексного векторного кватернионного пространства, лежащего в основе кватернионной теории относительности. Продемонстрировано выполнение принципа соответствия полученной таким образом шестимерной электродинамики и уравнений Максвелла при переходе к стандартному четырехмерию.

Завершая это вступление, автор хотел бы акцентировать внимание читателя на том, что предлагаемая работа основана отнюдь не на подгонке кватернионной математики к общепринятым теориям, а наоборот, – на естественном соответствии врожденных математических свойств кватернионов и целого ряда экспериментально наблюдаемых явлений геометрии и физики. Иначе говоря, автор полагает, что фундаментальная математика кватернионных чисел содержит в себе – и при надлежащем внимании позволяет извлечь – большое число математических моделей и соотношений, которые сегодня считаются независимыми физическими теориями. В этом смысле по духу (но, конечно, не по содержанию) данное исследование весьма близко работам тех авторов (см. работы Ю.Кулакова [34], Ю.Владимирова [35]), которые выстраивают системную логику «рождения теорий» на базисе фундаментальных соотношений, никак не зависящих от физического эксперимента. Представляется, что именно такая фундаментальная системность предоставит необходимый материал и инструменты, а главное – определит верные направления развития адекватной истине математической формулировки физических явлений в новом веке. Или в новом тысячелетии.

Но как бы ни были убедительны логически-системные подходы «рождения новых теорий», предсказания всех таких теорий, конечно, должны удовлетворять проверке на опыте.

Предложенное исследование состоит из двух частей. В первой части углубленно рассмотрены чисто математические аспекты, связанные с наличием в природе кватернионных чисел: возможности представлений «специальных кватернионов» – единиц базиса кватернионой алгебры, наличие и особенности их внутренней структуры, связь с геометрическими образами и объектами. Введено понятие кватернионного пространства – объекта, объединяющего в себе специфические черты кватернионной геометрии, но в то же время, возможно, обладающего свойствами пространств аффинной связности. Во второй части книги показано, что многие из черт кватернионных пространств замечательным образом оказываются естественными, удобными или просто необходимыми для широкого спектра физических теорий, возникновение которых исторически никак не было связано с кватернионной спецификой – от классической и квантовой механики до теории относительности и поля Янга-Миллса. А появление спинорных функций как фундаментальных объектов алгебры намекает на глубинную связь кватернионов с теориями фермионных полей. Все эти факты позволяют предполагать, что последняя замечательная ассоциативная алгебра кватернионных чисел тесным образом связана с системой отношений, регулирующих взаимодействия в физическом мире. Использование понятия и классификации Q-пространств позволяет системно, с внятных геометрических позиций изучать проявления кватернионной специфики в известных физических теориях и успешно конструировать новые модели. Кроме того, применение кватернионных методов способствует обогащению семейства физических эффектов и во многих случаях существенно упрощает их расчеты.

Ниже перечислены основные результаты, полученные автором в данном исследовании.

Получены новые данные о свойствах и строении кватернионов. Определены множества допустимых матричных представлений специальных кватернионов (единиц базиса кватернионных чисел). Базовое множество образуется двумя бесследовыми 2х2-матрицами с единичным детерминантом, при условии, что след произведения этих матриц также равен нулю. Указана всегда возможная процедура удвоения ранга исходных матриц, которая позволяет, в частности, задать специальные кватернионы с помощью только действительных чисел. Установлено, что правило умножения кватернионных единиц не изменяет формы (инвариантно), если специальные кватернионы подвергаются преобразованиям из родственных групп SL( 2C ) и SO( 3,C ); принадлежность коэффициентов при единицах к полям R или С не существенна. Показано также, что все векторы-кватернионы с действительными компонентами форм-инвариантны относительно группы вращений SO (3,R). Установлено наличие составной природы кватернионных единиц; на основе решения уравнений для собственных функций операторов представления специальных кватернионов определена их внутренняя структура. Показано, что собственные функции кватернионных операторов являются более фундаментальными математическими объектами, нежели векторы-кватернионы базисных триад, и представляют собой обобщенные спиноры, преобразующиеся группой SL(2С). Найдено, что, в отличие от нелинейной взаимозависимости специальных кватернионов одной триады, соответствующие им спиноры связаны друг с другом линейным соотношением. Вычислены все возможные скалярные (численные) инварианты алгебры кватернионов, построенные из набора спиноров любой кватернионной триады.

Получены базовые дифференциальные соотношения для векторных кватернионных триад, рассматриваемых как жесткие подвижные реперы. С использованием объекта кватернионной связности разработана схема бескоординатного представления кривых. Введены понятия касательных кватернионных пространств и собственно трехмерного векторного кватернионного пространства (Q-пространства), обладающего всеми известными свойствами пространства аффинной связности (с картановым кручением и неметричностью), а также специфическими кватернионными свойствами. Установлено, что метрика Q-пространств вынужденно оказывается несимметричной, и для них характерна «внешняя» дифференциальная структура, представленная в общем случае собственной (метрической) Q-связностью, алгебраически эквивалентным ей кручением (гамильтоново кручение), а также кватернионной неметричностью. Для Q-пространств общего вида дан подробный анализ структуры тензора кривизны, построенного из всех возможных объектов связности. Предложены схемы геометрических классификаций кватернионных пространств в зависимости от наличия (или отсутствия) основных геометрических объектов: неметричности, кручения и кривизны различной природы; каждая из иерархий содержит не менее 13 типов пространств: от общего типа до простейшего «евклидова» Q-пространства (с постоянной несимметричной метрикой).

Реализована схема изучения специфики Q-пространств различного типа в ряде физических теорий. (i) В риманово-плоском Q-пространстве жестких триад с действительными параметрами группы инвариантности Q-векторов и при наличии Q-связности (гамильтонова кручения) получены уравнения динамики в как угодно сложно вращающихся системах отсчета. (ii) В аналогичном метрическом чисто кватернионном пространстве, но с комплексными параметрами векторной группы и компонентами собственной Q-связности и кручения построена «кватернионная теория относительности» – новая методика расчета релятивистских кинематических эффектов в системах отсчета, движущихся с произвольными ускорениями (в том числе, с переменными бустами); параметр времени при этом является мнимой координатой. (iii) Показано, что простейшее «евклидово» Q-пространство, не содержащее «аффинных» и кватернионных объектов, но с Q-метрикой, имеющей декартову часть и антисимметричное бесследовое слагаемое, может рассматриваться как геометрический фон квантовой механики. Вычисленный в таком пространстве гамильтонинан заряженной квантово-механической частицы в магнитном поле автоматически содержит слагаемое Паули, вычисляемое вместе с коэффициентом, который совпадает с выражением для магнетона Бора; в такой трактовке спиновые свойства признаются атрибутом геометрии, а не квантовой частицы. (iv) Разработана схема построения четырехмерных теорий гравитации с трехмерными сечениями в виде искривленных квазиримановых Q-пространств с поляризаций, заданной гамильтоновым кручением или чисто кватернионной неметричностью. (iv) Установлено, что в чисто кватернионных Q-пространствах, содержащих только метрическую Q-связность и Q-неметричность, компоненты которых могут зависеть от­ ­пространст­венных координат и времени, соответствующий тензор кривизны формально имеет структуру напряженности поля Янга-Миллса, потенциалом является линейная комбинация метрической Q-связности и Q-неметричности. Уравнения поля при этом следуют из простейшего квадратичного по кривизне лагранжиана.

Построена и детально проанализирована новая методика моделирования и вычисления эффектов относительного движения систем отсчета, представленных Q-триадами («кватернионная теория относительности»). В ее основе лежит инвариантность относительно специальной подгруппы SO( 3,C ) «метрического» бикватернионного вектора, компоненты которого ассоциируются с изменением координат и временным интервалом для частицы, наблюдаемой из кватернионного репера. Такой бикватернион, с необходимостью имеющий норму, является специфическим корнем квадратным из линейного элемента теории относительности. Показано, что взаимосвязь между различными системами отсчета описывается алгебраическим матричным уравнением поворота, элементы которого принадлежат векторной группе SO(1,2). Предложенная теория содержит известные кинематические эффекты СТО, но, кроме того, в силу векторной природы базового «метрического» бикватерниона, и возможности локализации параметров группы, позволяет решать широкий круг релятивистских задачи кинематики в неинерциальных реперах. Такие решения подробно проанализированы для гиперболического движения (из ускоренной системы отсчета, в том числе с учетом запаздывания сигнала), для движения по окружности (из покоящейся и ускоренной систем отсчета), для движения по плоским некруговым орбитам. С позиций как покоящегося, так и ускоренного наблюдателя получено также полное решение задачи кинематики для релятивистского гармонического осциллятора; при этом большинство окончательных соотношений получено в результате точного интегрирования в виде сходящихся рядов, содержащих числа Эйлера и Бернулли. Помимо детального представления кинематики в рамках развиваемой методики предложен вариант релятивистских динамических уравнений с формулировкой соответствующей задачи двух тел.

На базе «кватернионной теории относительности» в приближении малых относительных скоростей рассчитан релятивистский эффект наблюдаемого смещения положения (по отношению к расчетному) быстрых спутников планет Солнечной Системы, наблюдаемых с Земли; установлено, что этот эффект накапливается со временем. Приведена таблица расчетных значений видимого смещения положения ряда спутников Марса и Юпитера. В частности, для Метиса (быстрый спутник Юпитера) значение наблюдаемого линейного смещения, имеющего релятивистскую природу, за один юпитерианский год (11,8 земных лет) составляет 52 км при диаметре спутника 40 км , т.е. вековой сдвиг на порядок больше размеров спутника. Аналогичный порядок величин характеризует релятивистский сдвиг спутника Адрастея (Юпитер); для спутников Амальтея, Теба (Юпитер) и Фобос (Марс) такое смещение превышает размеры планет в два-три раза. Эти расчетные данные позволяют полагать, что в специально организованном наблюдательном эксперименте указанный эффект может быть обнаружен экспериментально.

Получен ряд точных решений уравнений теории гравитации в четырехмерном пространстве-времени, трехмерным сечением которого являются Q-пространства различных типов, при этом дифференциальные кватернионные характеристики (гамильтоново кручение и неметричность) задают геометрическую поляризацию. В Q-пространстве без кручения и «аффинной» неметричности, но содержащем почти изотропную Q-неметричность, получено несингулярное решения для нестационарной космологической модели с источником в виде пыли и бесконечным радиусом кривизны, а также статическое вакуумное решение, обобщающее модель вселенной Эйнштейна. Для квазириманового Q-сечения (содержащего только риманову связность и кривизну, а также гамильтоново кручение) получено стационарное цилиндрическое решение в вакууме или с источником в виде идеальной жидкости, имеющей жесткое уравнение состояния; отказ в последнем случае от кватернионной специфики приводит к точному решению уравнений ОТО.