К столетию лекции о возможности использования кватернионов для описания преобразований Лоренца, прочитанной Ф.Клейном в Гёттингенском математическом обществе. В 1910 г. в лекции Ф.Клейн доложил о возможности использования кватернионов с комплексными коэффициентами для описания преобразований Лоренца (Klein F. Uber die geometrische Grundlagen der Lorentzgruppen. — Phusikalische Zeitschrift, 1911, Bd12, S. 17-27). В течение века прошедшего с момента опубликования подход Ф.Клейна предполагался не удовлетворительным, т.к. считалось что "...кватернионы связаны с положительно определёнными формами, тогда как спин-матрица и преобразования Лоренца характеризуются лоренцевой сигнатурой (+,-,-,-). Конечно, указанную трудность можно обойти путём введения кватернионов с надлежащими комплексными коэффициентами. Подобные объекты не будут обладать фундаментальными свойствами действительных кватернионов, т.е. не будут образовывать алгебру с делением" (Пенроуз Р. и Риндлер В. "Спиноры и пространство-время". М.: Мир, 1987). В докладе будет показано: 1) Применение кватернионов для описания пространства-времени является рациональным, и применение их возможно с использованием стандартной алгебры кватернионов. Модификация подхода Ф.Клейна основана на том, что кватернионы и связанные с ними алгебры (октав, комплексных чисел) имеют две равноправные квадратичные формы, одна из которых является положительно определённой, а вторая является знакопеременной. Каждой квадратичной форме отвечает своя симметричная билинейная форма, которая может быть использована в качестве скалярного произведения. Соответственно, каждой квадратичной форме отвечает своё преобразование пространств, связанных с упомянутыми алгебрами. Преобразования пространства, оставляющие неизменной знакопеременную квадратичную форму, эквивалентны преобразованиям Лоренца. Зависимости, описывающие эти преобразования, действительны, в том числе, и для алгебры октав. 2) Исходя из того факта, что преобразования Лоренца определены не только для кватернионов, но и для октав, возможно предположение, что видимое трёхмерное пространство – это часть 8-мерного пространства-времени, в котором алгебра векторов – это алгебра октав. Результатом такого подхода стала аналитически полученная формула для волн де Бройля. Волны де Бройля трактуются как проявление эффекта Доплера при распространении волны по некоторому изотропному направлению, которое содержит составляющую, ортогональную видимому трёхмерному пространству. (Е.И.Кубышкин. Пространство-время и кватернионы, Е.И.Кубышкин. Нелинейная алгебра пространства-времени.)
