19:00-19:20 Информационный блок, беседа с докладчиком.

19:20-20:20 Доклад.

О предгеометрии и новом видении квантовой механики

Ефремов Александр Петрович, This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.

д.ф.-м.н., профессор Институт гравитации и космологии РУДН

Современная теория механики включает три базовых раздела, исторически возникших так:

Классическая механика

Механика Ньютона (1680-е): результат анализа экспериментов

• уравнения динамики Ньютона

Аналитическая механика (1750-е, Мопертюи; XVIII-XIX вв, Эйлер, Лагранж, Гамильтон): эвристические и логические изыскания в алгебре действительных чисел

• принцип экстремума действия
• уравнения Эйлера-Лагранжа (уравнения Гамильтона)
• уравнения Гамильтона Якоби

Релятивистская механика Эйнштейна (1905) – результат анализа – преобразований Лоренца и др. математических фактов, следующих из уравнений электродинамики Максвелла (которые в свою очередь – результат анализа эмпирических законов электричества и магнетизма):

• инвариантный интервал 4D пространства-времени
• постоянство фундаментальной скорости во всех системах отсчета
• соотношение «масса – энергия»
• подбор действия для вывода уравнений релятивистской динамики (Ландау, Лифшиц: Теория поля)

Квантовая механика + релятивистская квантовая механика (1920-е: Бор, Де Бройль, Гейзенберг, Шредингер, Дирак) – результат анализа эмпирических данных и эвристических изысканий в алгебре комплексных чисел

• соотношения «энергия-частота», «волновой вектор-импульс»
• уравнение Шредингера
• интерпретация функции состояния как амплитуды вероятности
• уравнения Дирака и 4D спинорное поле

Эти разделы механики связаны принципом соответствия (не очень логичным для квантовой ветви); тем не менее, они трактуются и изучаются как существенно разные теории – с различной логикой и математическим содержанием.

Однако возможна иная трактовка, изложенная в следующих основных работах автора:

[1] Yefremov A.P. General Theory of Particle Mechanics arising from a fractal surface. Grav.& Cosmol. 2015, 21 №1, 19-27.

[2] Yefremov A.P. The General Theory of Particle Mechanics. A Special Course. Cambridge Scholars, UK, 2019.

[3] Yefremov A.P. The Fractal Structure of Space Entails Origin of Pauli's Equation. Grav.& Cosmol. 2019, 25 №4, 305-309.

Согласно этой трактовке все указанные выше разделы механики – суть специальные случаи единственной логической структуры, которая возникает при анализе существования и стабильности исключительных алгебр (действительных, комплексных и кватернионных чисел) при простых деформациях фрактального подпространства 3D мира (о нем ниже). Базовое уравнение этой структуры строго выводится, оно чисто математическое и безразмерное. Но, будучи записанным в физических единицах, оно в точности становятся уравнением квантовой механики Шредингера, а в специальных случаях приводит к уравнениям аналитической (и ньютоновской) механики и релятивистской механики. При этом раскрывается смысл «загадочного» принципа наименьшего действия; кроме того, ряд абстрактных или спорных величин – волновая функция, действие, интервал пространства-времени – имеют внятные геометрические образы, а серия постулированных ранее соотношений строго выводится. Поэтому данная структура получила условное название «общая теория механики».

Несколько детальных пояснений.

1. Показано, что базисные единицы (скалярная и векторные) всех исключительных алгебр имеют «внутреннюю структуру» - являются квадратичными линейными комбинациями всего двух элементарных векторов, составляющих комплексно-значную (двумерную) площадку фрактального подпространства – «корня квадратного» из 3D пространства, размерности которого вполне формируются векторными единицами алгебры кватернионов. При этом скалярная единица оказывается декартовой метрикой фрактального пространства.
2. QM (quantum mechanic) . Фрактальная площадка подвергается двум простым деформациям – «вращению» и конформному растяжению; при этом условием сохранения и стабильности единиц алгебр оказывается простое комплексно-значное уравнение (безразмерное); записанное в физических единицах микромира, оно в точности совпадает с уравнением Шредингера. Добавление к указанным деформациям векторной трансляции приводит к уравнению, постулированному Паули для заряженной квантовой частицы во внешнем магнитном поле (подробно см. в работе [3]).
3. CM (classical mechanic) . В случае «быстрой» функции растяжения и «медленной» фазы вращения из уравнения Шредингера, выделяется макро- уравнение, в точности совпадающее с уравнением Гамильтона Якоби аналитической механики. При этом фаза (угол поворота) имеет смысл действия, измеренного в величинах постоянной Планка; это имеет следствием функционал действия и уравнения Эйлера-Лагранжа (уравнения динамики Ньютона) в трехмерном пространстве.
4. Таким образом, частица в данной теории имеет два связанных геометрических образа: ее микро-образ – нагруженная «относительной фрактальной плотностью» площадка, осциллирующая между действительным и мнимым сектором подпространства, в 3D мире это почти точечная масса («материальная точка»), вращающаяся вокруг одной своей оси.
5. RM (relativistic mechanic) . При этом крайняя точка движущейся частицы описывает цилиндрическую спираль. Если линейная скорость крайней точки всегда равна фундаментальной скорости, то из интервала спирали немедленно следует выражение для фазы, в физических координатах точно совпадающее с известным выражением для действия классической релятивистской частицы. В квазиклассическом случае это выражение приводит к выводу соотношений Де Бройля для энергии и импульса квантовой частицы, а также к связи энергии «покоя» частицы с энергией ее собственного вращения.

В данной теории последовательность появления известных разделов механики очевидно не схожа с историческими этапами их открытия. Здесь базовым является уравнение квантовой механики; оно редуцируется к уравнению аналитической механики (и далее – к уравнению Ньютона); при этом возникает модель материальной точки, вращение которой обеспечивает формулировку механики в рамках теории относительности.

В работе [1] также показано, что в рамках данного подхода аналогичным образом могут быть выведены уравнения Дирака для релятивистской квантовой частицы и уравнения типа геодезической для частицы, крайняя точка которой описывает неравномерную изогнутую спираль.

Таким образом оказывается, что уравнения базовой физической теории – механики, найденные в природе посредством эмпирических и/или эвристических изысканий, имманентно содержатся в фундаментальной математической среде исключительных алгебр.

Этот факт, вероятно, следует отнести и к другим разделам физики; в частности, как хорошо известно, Р.Фютер (1930-е) показал, что уравнения электродинамики Максвелла (в вакууме) в точности эквивалентны уравнениями аналитичности (типа Коши-Римана) векторной функции кватернионной переменной.

По-видимому, дальнейшее исследование алгебры и геометрии кватернионов и их фрактальных подпространств представляет собой новое – и весьма перспективное направление в теоретической физике, которое (без сомнения) даст новые результаты в познании устройства мира.

 20:20-21:00 Вопросы, комментарии и краткие сообщения.